§ 2. Давление газа

Картина движений молекул в газе будет неполной, если не рассмотреть еще вопросы о столкновениях молекул с поверхностью любого тела, находящегося в газе, в частности со стенками сосуда, содержащего газ, и друг с другом.

Действительно, совершая беспорядочные движения, молекулы время от времени приближаются к стенкам сосуда или к поверхности других тел на достаточно малые расстояния. Точно так же молекулы могут подойти друг к другу достаточно близко. В этом случае между молекулами газа или между молекулой газа и молекулами вещества стенки возникают силы взаимодействия, которые очень быстро убывают с расстоянием. Под действием этих сил молекулы газа изменяют направление своего движения. Этот процесс (изменения направления), как известно, называется столкновением.

Столкновения молекул между собой играют очень большую роль в поведении газа. И мы их позже детально изучим. Сейчйс важно учесть столкновения молекул со стенками сосуда или с любой другой поверхностью, соприкасающейся с газом. Именно взаимодействием молекул газа и стенок определяется сила, испытываемая стенками со стороны газа, и, конечно, равная ей противоположно направленная сила, испытываемая газом со стороны стенок. Ясно, что сила, испытываемая стенкой со стороны газа, тем больше, чем больше площадь ее поверхности. Чтобы не пользоваться величиной, зависящей от такого случайного фактора, как размеры стенки, принято характеризовать действие газа на стенку не силой, а

давлением , т. е. силой отнесенной к единице площади поверхности стенки, нормальной к этой силе:

Свойство газа оказывать давление на стенки содержащего его сосуда — одно из основных свойств газа. Именно своим давлением газ чаще всего и обнаруживает свое присутствие. Поэтому величина давления является одной из главных характеристик газа.

Давление газа на стенки сосуда, как это предположил еще в XVIII в. Даниил Бернулли, есть следствие бесчисленных столкновений газовых молекул со стенками. Эти удары молекул о стенки приводят к некоторым смещениям частиц материала стенки и, значит, к ее деформации. Деформированная же стенка действует на газ упругой силой, направленной в каждой точке перпендикулярно к стенке. Сила эта равна по абсолютному значению и противоположна по направлению силе, с которой газ действует на стенку.

Хотя силы взаимодействия каждой отдельной молекулы с молекулами стенки при столкновении неизвестны, тем не менее законы механики позволяют найти среднюю силу, возникающую от совокупного действия всех молекул газа, т. е. найти давление газа.

Рис. 2.

Допустим, что газ заключен в сосуд, имеющий форму параллелепипеда (рис. 2), и что газ находится в состоянии равновесия. В данном случае это означает, что газ как целое покоится относительно стенок сосуда: число молекул, движущихся в каком-нибудь произвольном направлении, в среднем равно числу молекул, скорости которых направлены в противоположную сторону.

Вычислим давление газа на одну из стенок сосуда, например на правую боковую стенку Направим координатную ось X вдоль ребра параллелепипеда перпендикулярно к стенке как это показано на рис. 2. Как бы ни были направлены скорости молекул, нас будут интересовать только проекции скоростей молекул на ось X: по направлению к стенке молекулы движутся именно со скоростью

Выделим мысленно слой газа толщиной А, прилегающий к выбранной стенке. На него со стороны деформированной стенки действует упругая сила С такой же по абсолютному значению

силой и газ действует на стенку. По второму закону Ньютона импульс силы некоторый произвольный промежуток времени) равен изменению импульса газа в нашем слое. Но газ находится в состоянии равновесия, так что слой никакого приращения импульса в направлении импульса силы (против положительного направления оси X) не получает. Происходит это потому, что из-за молекулярных движений выделенный слой получает импульс противоположного направления и, конечно, такой же по абсолютному значению. Его нетрудно вычислить.

При беспорядочных движениях газовых молекул за время в наш слой слева направо входит некоторое число молекул и столько же молекул выходят из него в обратном направлении — справа налево. Входящие молекулы несут с собой определенный импульс. Выходящие несут такой же импульс противоположного знака, так что общий импульс, получаемый слоем, равен алгебраической сумме импульсов входящих в слой и выходящих из него молекул.

Найдем число молекул, входящих в наш слой слева за время

За это время к границе слева могут подойти те молекулы, которые находятся от нее на расстоянии, не превышающем Все они находятся в объеме параллелепипеда с площадью основания рассматриваемой стенки) и длиной т. е. в объеме Если в единице объема сосуда содержится молекул, то в указанном объеме находится молекул. Но из них лишь половина движется слева направо и попадает в слой. Другая половина движется от него и в слой не попадает. Следовательно, за время в слой слева направо входит молекул.

Каждая из них обладает импульсом масса молекулы), и общий импульс, вносимый ими в слой, равен

За это же время слой покидает, двигаясь справа налево, такое же число молекул с таким же общим импульсом, но обратного знака. Таким образом, из-за прихода в слой молекул с положительным импульсом и ухода из него молекул с отрицательным импульсом общее изменение импульса слоя равно

Это то изменение импульса слоя и компенсирует то изменение, которое должно было бы произойти под действием импульса силы Поэтому мы можем написать:

Разделив обе части этого равенства на получаем:

До сих пор мы молча предполагали, что у всех молекул газа одинаковые проекции скорости . В действительности это, конечно, не так. И скорости молекул и их проекции на ось X у разных молекул, разумеется, различны. Вопрос о различии скоростей газовых молекул в условиях равновесия мы подробно рассмотрим в § 12. Пока же учтем различие скоростей молекул и их проекций на оси координат тем, что заменим величину входящую в формулу (2.1), ее средним значением так что формуле для давления гйза (2.1) мы придадим вид:

Для скорости каждой молекулы можно написать:

поэтому

(последнее равенство означает, что порядок проведения операций усреднения и сложения можно изменять). Из-за полной беспорядочности молекулярных движений можно полагать, что средние значения квадратов проекций скоростей на три оси координат равны друг другу, т. е.

А это значит, принимая во внимание (2.3), что

Подставив это выражение в формулу (2.2), получаем:

или, умножив и разделив правую часть этого равенства на двойку,

Приведенные простые рассуждения справедливы для любой стенки сосуда и для любой площадки, которую мысленно можно поместить в газ. Во всех случаях мы получим для давления газа результат, выраженный формулой (2.4). Величина в формуле (2.4) представляет собой среднюю кинетическую энергию одной молекулы газа. Следовательно, давление газа равно двум третям

средней кинетической энергии молекул, содержащихся в единице объема газа.

Это — один из важнейших выводов кинетической теории идеального газа. Формула (2.4) устанавливает связь между молекулярными величинами, т. е. величинами, относящимися к отдельной молекуле, и величиной давления, характеризующей газ как целое, — величиной макроскопической, непосредственно измеряемой на опыте. Уравнение (2.4) иногда называют основным уравнением кинетической теории идеальных газов.

Важно подчеркнуть, что давление газа определяется средней кинетической энергией его молекул. Это значит, что давление газа — величина, органически связанная с тем, что газ состоит из большого числа молекул. Не имеет поэтому смысла говорить, например, о давлении, создаваемом одной или немногими молекулами. О таких понятиях, которые имеют смысл только для систем, содержащих очень много частиц, говорят, что они имеют статистический характер.

Заметим здесь же, что входящую в формулу (2.4) величину среднего значения квадрата скорости следует отличать от квадрата среднего значения скорости Если корень квадратный из равен средней скорости то не равен

Величина (а не называется средней квадратичной скоростью молекул. Если движение молекул вполне хаотично, то их средняя квадратичная скорость приблизительно на 9% больше средней скорости.

Единицы давления. В системе СИ за единицу давления принимается давление, при котором на поверхности нормально к ней действует сила в 1 ньютон. Такая единица называется паскаль (сокращенно Па);

Ввиду малости этой единицы рекомендуется для пользования единица в 105 раз большая, которой присвоено название бар:

В системе СГС давление измеряется в единицах

В технике широко применяется единица давления, называемая технической атмосферой (сокращенно ат), равная Эта единица лишь на 2% отличается от бара;

Иногда используется единица — физическая атмосфера (сокращенно атм), равная давлению столба ртути высотой 76 см. Считая

плотность ртути равной и ускорение свободного падения равным получаем:

В области низких давлений применяется единица давления тор (миллиметр ртутного столба):

При решении задач необходимо помнить, что из приведенных здесь единиц давления системными являются только Па (система СИ) и (система СГС).