§ 100. Силы, возникающие на кривой поверхности жидкости

Мы видели, что во многих случаях поверхность жидкости оказывается искривленной. Можно даже сказать, что нормальной для жидкости является именно не плоская поверхность, так как для того, чтобы поверхность жидкости была плоской, необходимо действие внешней силы — силы тяжести или силы взаимодействия с частицами вещества, граничащего с жидкостью (растекание жидкости при смачивании).

Рис. 118.

Кривизна поверхности жидкости приводит к появлению сил, действующих на жидкость под этой поверхностью. В этом нетрудно убедиться из следующих простых соображений. Представим себе сферическую каплю жидкости с радиусом сферы (рис. 118). При увеличении радиуса сферы растет площадь ее поверхности, а вместе с ней и поверхностная энергия. Ясно, что это может быть достигнуто только ценой затраты работы. Наоборот, при уменьшении радиуса капли поверхностная энергия уменьшается. Это значит, что работа производится силами, действующими в самой капле. Отсюда следует, что объем жидкости под сферической поверхностью всегда несколько сжат, т. е. испытывает дополнительное давление, направленное радиально, т. е. перпендикулярно к

поверхности. Эти соображения позволяют вычислить и величину этого дополнительного давления, связанного с кривизной поверхности.

Действительно, пусть под действием этого давления жидкий шар уменьшит свой объем на как это показано на рис. 118. Работа сжатия жидкости произведена, очевидно, за счет уменьшения поверхностной энергии. Работа сжатия равна, как известно, где давление, т. е.

Уменьшение же поверхностной энергии

где уменьшение поверхности шара, соответствующее уменьшению радиуса на Из известных формул для поверхности и объема шара получаем очевидные выражения:

Подставляя эти значения для в уравнения (100.1) и (100.2) и принимая во внимание, что получаем:

откуда для давления, оказываемого на жидкость ее кривой поверхностью, получается следующее выражение:

Если поверхность жидкости не сферическая, а цилиндрическая, то дополнительное давление, вызванное кривизной, определяется формулой

Действительно, для цилиндра длиной I и радиусом имеем: и соответственно

откуда

Из условия непосредственно получается выражение (100.4).

В общем случае поверхности любой формы (не сферической и не цилиндрической) давление, обусловленное кривизной поверхности, выражается уравнением, известным под названием уравнения Лапласа:

где главные радиусы кривизны в данной точке поверхности, или, точнее, для данного элемента поверхности.

Легко видеть, что формулы (100.3) и (100.4) являются частными случаями уравнения (100.5). Для сферы оба главных радиуса кривизны совпадают и равны радиусу сферы, т. е. и (100.5) переходит в (100.3). У цилиндра один из главных радиусов кривизны равен а другой совпадает с радиусом, цилиндра; подстановка в (100.5) приводит к (100.4).

Дополнительное давление, определяемое формулой Лапласа, направлено, очевидно, к центру кривизны поверхности. Поэтому в случае выпуклой поверхности оно направлено внутрь жидкости и добавляется к нормальному давлению жидкости. В случае же вогнутой поверхности жидкость будет находиться под давлением меньшим, чем та же жидкость под плоской поверхностью. Математически это соответствует тому, что радиус кривизны для вогнутой поверхности, когда центр кривизны находится вне жидкости, считается отрицательным, а выпуклой поверхности — положительным.

Нужно помнить, что дополнительное давление, создаваемое кривизной поверхности и определяемое уравнением (100.5), нельзя отождествлять с поверхностными силами, которые, как мы знаем, направлены по касательной к поверхности, в то время как дополнительное давление Лапласа направлено перпендикулярно к ней. Оно возникает лишь в результате действия сил поверхностного натяжения, искривляющих поверхность жидкости.

Рис. 119.

Некоторой аналогией этому давлению может служить давление под резиновой камерой надуваемого воздухом мяча. Чем больше давление, направленное, конечно, нормально к поверхности камеры, тем больше растягивается оболочка камеры. Но давление направлено перпендикулярно к поверхности камеры, а силы, растягивающие оболочку, действуют по касательной к ней (только такие силы и могут растягивать материал камеры).

Возникновение дополнительного давления особенно ясно видно из рис. 119, на котором изображена часть сферической поверхности жидкости. К любому элементу длины окружности приложены силы поверхностного натяжения, направленные касательно

к поверхности сферы. Из рисунка видно, что равнодействующая этих сил направлена к центру сферы. Отнесенная к единице площади поверхности эта равнодействующая сила и является тем дополнительным давлением, которое испытывает жидкость под искривленной поверхностью и которое выражается формулой Лапласа.

Рис. 120.

Простой опыт позволяет легко наблюдать это давление и проследить качественную зависимость этого давления от радиуса кривизны. Два конца стеклянного тройника (рис. 120) опускаются в раствор мыльной воды. После того как оба они затянутся мыльной пленкой, тройник вынимается и через отросток С выдуваются два мыльных пузыря. Вследствие неизбежных случайных обстоятельств эти пузыри всегда несколько отличаются друг от друга диаметром. После закрытия отверстия С пузыри не находятся в равновесии. Пузырь большего радиуса еще больше раздувается, а пузырь меньшего радиуса соответственно сокращается. Это непосредственно показывает, что давление, вызванное кривизной поверхности, увеличивается с уменьшением радиуса кривизны.