§ 11. Понятие о распределении. Функция распределения

В основные уравнения кинетической теории идеальных газов входит, как мы знаем, средняя кинетическая энергия молекул, которая в свою очередь определяемся их средней квадратичной скоростью. Смысл средней квадратичной скорости заключается в том, что это — та скорость, которой должны были бы обладать все молекулы (если бы величины их скоростей были одинаковы, а направления равновероятны), чтобы давление газа было тем, каким оно в действительности является. На самом деле, однако, скорости молекул не одинаковы, и мы это даже принимали во внимание при выводе основного уравнения. На это указывают и опытные факты.

Так, например, в опытах Штерна, в которых измерялась скорость молекул, смещенная полоска оказывалась не резкой, а размытой из-за того, что молекулы с разными скоростями попадали в разные места мишени. Об этом свидетельствует и рассмотренный в § 8 закон распределения молекул по высоте в поле тяжести (барометрическая формула). Если бы все молекулы имели одинаковые скорости, распределение было бы совсем иным. В самом деле, представим себе, что все молекулы, находящиеся у поверхности Земли, имеют одинаковые скорости, вертикальная составляющая которых равна и. Эти молекулы поднялись бы до высоты определяемой условием

т. е. до высоты

после чего они вернулись бы к Земле с первоначальной кинетической энергией, т. е. они вели бы себя так же, как ведет себя любое брошенное вверх тело. При таких условиях атмосфера имела бы на высоте х резкую границу, за пределами которой ее не было бы. Опыт же показывает, что атмосфера резкой границы не имеет, ее плотность убывает с высотой в соответствии с барометрической формулой. Предположение о равенстве скоростей всех молекул противоречит, таким образом, опыту.

Благодаря беспорядочным движениям молекул и их взаимным столкновениям молекулы газа каким-то образом распределяются

по скоростям, так что среди них имеются как очень быстрые, так и очень медленные. Несмотря на полную хаотичность молекулярных движений, несмотря на случайный характер столкновений и вызываемых ими изменений скорости молекул, их распределение по скоростям, как показывают теория и опыт, оказывается не случайным, не произвольным, а вполне определенным. На его характер не влияют ни столкновения между молекулами, ни даже внешние поля. Оно оказывается однозначным и единственно возможным. И это не только не противоречит представлению о хаотичности молекулярных движений, но именно ею и обусловлено.

Прежде чем приступить к выводу закона распределения молекул по скоростям, выясним сущность задачи о распределении. Определить распределение молекул по скоростям означает, как будто бы, определить число молекул, обладающих той или иной заданной скоростью. Однако в такой постановке вопрос не имеет смысла, так как вероятное число молекул, имеющих точно (математически точно!) заданную скорость, равно нулю. Ведь число различных значений скорости бесконечно большое. Число же молекул конечное. Поэтому число молекул, приходящихся на долю каждого произвольно заданного значения скорости, равно нулю. Вследствие этого вопрос должен быть сформулирован иначе: сколько молекул (или какая часть молекул) обладает скоростями, лежащими в некотором интервале вблизи заданной скорости?

Именно так всегда и ставятся статистические задачи. Если, например, требуется найти распределение населения страны по возрасту, то это не значит, что нужно определить вероятное число людей, имеющих тот или иной точно (математически точно) заданный возраст. Такой вопрос не имеет смысла, так как число различных значений возраста бесконечно большое, а число людей конечное. Можно лишь определить вероятное число людей, возраст которых лежит в определенном интервале значений. Когда в повседневной речи мы говорим, что такому-то человеку 18 лет, то мы не хотим этим сказать, что ему ровно 18 лет, дней, минут, секунд. Наше утверждение означает лишь, что его возраст лежит в интервале между 18 и 19 годами. Точно так же, когда, например, Министерство просвещения, планируя работу школ в учебном году, интересуется числом детей семилетнего возраста, поступающих в школу, то оно интересуется не детьми, которым 1 сентября в 8 часов утра исполнится ровно 7 лет. Его на самом деле интересует число детей, чей возраст лежит между семью и восемью годами.

Функция распределения. Изучая распределение частиц по скоростям, мы тоже будем искать число частиц, скорости которых (или компоненты скорости) лежат в определенном интервале значений скорости (или компонент скорости).

Очевидно, что число частиц в единице объема, скорости которых лежат в некотором интервале от до тем больше, чем

больше интервал, , или

где а — коэффициент пропорциональности.

Ясно также, что зависит и от самой скорости, так как в одинаковых по величине интервалах, но при различных абсолютных значениях скорости, число частиц будет различным, как не одинаково, например, число людей в интервале возрастов от 99 до 100 лет и от 30 до 31 года, хотя размеры интервалов в обоих случаях одинаковы. Это значит, что в формуле (11.1) коэффициент пропорциональности должен быть функцией скорости:

Наконец, величина должна быть также пропорциональна числу частиц в единице объема. Поэтому формула для должна иметь вид:

Ее обычно записывают в. таком виде:

Величина в этой формуле представляет собой долю частиц в единице объема газа, скорости которых лежат в интервале от до

Функция называется функцией распределения. Нашей задачей и является найти вид этой функции. Смысл ее ясен из формулы (11.2). В самом деле,

Это значит, что равна доле частиц, скорости которых заключены в единичном интервале скоростей вблизи скорости

Переходя к пределу, можно формулу (11.2) переписать в виде:

Из того, что говорилось выше о вероятности, следует, что величина — в формуле (11.3) имеет смысл вероятности: это вероятность того, что любая из молекул газа, содержащихся в единице его объема, обладает скоростью, лежащей в интервале вблизи скорости Величине же функции распределения можно приписать смысл вероятности любой молекуле газа в единице его объема иметь

скорость, заключенную в единичном интервале вблизи скорости Ее называют поэтому плотностью вероятности.

Полученная ранее барометрическая формула обязана своим видом тому, что скорости молекул не одинаковы, а определенным образом распределены по скоростям. Характер этого распределения как раз и зависит от вида функции Пользуясь уже известной барометрической формулой, мы и определим вид функции распределения, приводящей к зависимости (8.3) плотности молекул от высоты:

Заметим, что функция распределения может быть найдена и другими путями. Максвелл получил ее (1859 г.) из соображений, основанных на теории вероятностей. Больцман (1877 г.) вывел эту функцию из рассмотрения столкновений газовых молекул, благодаря которым и устанавливается распределение. Как следствие этой формулы может быть получена и барометрическая формула. Мы же для простоты расчета воспользуемся уже выведенной барометрической формулой, чтобы найти закон распределения.