§ 37. Эффективное поперечное сечение частицы и вероятность

Эффективному поперечному сечению молекулы (как и любой другой частицы) легко придать несколько иной, не геометрический смысл.

Представим себе слой газа толщиной с площадью сечения в Пусть газ состоит из молекул, имеющих сеченне о, а плотность молекул (их число в единице объема) равна Положим, как мы это уже делали раньше, что все молекулы слоя покоятся, а к нему приближается одна молекула, которая при прохождении через слой может испытать в нем столкновение. Разумеется, эта молекула не «нацелена» на какую-либо из молекул слоя, так что столкновение ее с той или иной из молекул есть дело случая. Общая площадь сечений всех молекул слоя равна, очевидно,

Если газ настолько разрежен, что проекции сечений молекул не перекрывают друг друга, то летящая к слою молекула «видит» перед собой площадку в часть которой, равная занята молекулами. Если бы эта площадь была равна покрывала бы всю площадь слоя, то наша молекула не могла бы избежать столкновения с какой-нибудь из молекул слоя. Можно сказать, что в этом случае вероятность столкновения была бы равна 1. Вообще же у молекулы тем больше шансов испытать столкновение, чем большую долю площади слоя составляет общая площадь сечений всех его молекул.

Следующая механическая аналогия поможет нам уяснить себе рассматриваемую молекулярную ситуацию. Представим себе участок ограды, устроенной из досок, разделенных свободными промежутками. Невдалеке от ограды ребенок, запасшийся большим количеством камешков (и терпением!), кидает их (конечно, не прицеливаясь) по направлению к ограде, так что камешки приблизительно равномерно распределяются по выделенному участку ограды. Очевидно, что некоторые из брошенных ребенком камней пройдут через промежутки между досками, другие попадут в доски. По израсходовании запаса камней (если он был достаточно велик) наш юный метатель сможет убедиться в том, что отношение числа камней, прошедших сквозь ограду, к общему числу брошенных камней приблизительно равно отношению площади промежутков в выбранном участке ограды к общей его площади. Первое из этих отношений есть отношение числа опытов, приводящих к осуществлению некоторого события (прохождения камня сквозь ограду), к общему числу опытов. По принятому нами определению оно равно вероятности события. Значит, отношение площадей промежутков к площади всей ограды как раз равно этой вероятности.

Обращаясь снова к случаю встречи летящей молекулы со слоем газа, мы можем и здесь сказать, что каждая молекула, летящая к слою, может испытать в нем столкновение, но может и пройти через него, не столкнувшись ни с одной из его молекул. Но если подобный опыт повторять достаточно много раз, то ясно, что отношение числа случаев, когда исходом опыта будет столкновение, к общему числу опытов будет равно отношению площади сечений всех молекул слоя к площади слоя (в рассматриваемом примере

Таким образом, величина как раз равная этому отношению, представляет собой вероятность того, что молекула испытает столкновение на протяжении пути газе. Очевидно, что вероятность столкновения на пути в 1 см равна , т. е. произведению числа молекул в единице объема на площадь эффективного сечения молекул. Если бы толщина слоя была равна длине свободного пробега, то на этом пути молекула непременно испытывала бы столкновение. Это значит, что общая «видимая»

площадь сечении всех молекул такого слоя равна площади слоя,

Эффективное поперечное сечение молекул а оказывается, следовательно, связанным с вероятностью столкновения (рассеяния) молекул и не имеет чисто геометрического смысла. Если эффективное поперечное сечение велико, то это не означает, что молекула «большая», а означает только, что вероятность столкновения велика. Понятно поэтому, что эффективный поперечник даже у одних и тех же частиц в разных условиях и для различных процессов может быть различным. Это было бы непонятно, если эффективное поперечное сечение действительно было бы просто гёометрической площадью сечения молекулы, рассматриваемой как твердый шарик.

Вероятностный смысл эффективного поперечного сечения молекулы станет особенно ясным, если мы воспользуемся полученным ранее выражением для среднего числа столкновений в единицу времени:

[см. формулу (36.1)]. Из него следует, что величина па, равная представляет собой число столкновений на длине пути в 1 см:

откуда

Из этого выражения следует, что величине а должен быть приписан вероятностный смысл. Представим себе опять слой газа толщиной на этот раз в 1 см и площадью в (рис. 48), к которому приближается движущаяся молекула. Она может столкнуться с любой из молекул, имеющихся в нашем слое (его объем равен ). В действительности, однако, происходит не столкновений. Значит, отношение в только что написанном равенстве представляет собой отношение числа совершившихся случаев (столкновений) к числу возможных, а оно, как мы знаем, равно вероятности рассматриваемого события (см. § 10).

Рис. 48.

Тот факт, что эффективному поперечному сечению молекулы или любой другой частицы приписывается вероятностный смысл, не мешает тому, что оно измеряется в единицах площади.

В частности, нетрудно убедиться в том, что величина имеет размерность площади.

В физике принята специальная единица для эффективного поперечного сечения. Такой единицей служит площадь в связанная с размерами атомного ядра. Называется эта единица барн.