§ 14. Средние скорости молекул

Пользуясь функцией распределения Максвелла, можно вычислить ряд величин, важных для молекулярной физики. Здесь в качестве примеров мы приведем вычисления средней арифметической скорости средней квадратичной скорости уже вычисленной нами ранее (см. стр. 39), и, наконец, наивероятнейшей скорости Начнем со средней арифметической скорости молекул.

Средняя арифметическая скорость по определению равна отношению суммы всех скоростей всех молекул в единице объема к числу молекул в единице объема.

Число молекул в единице объема, скорости которых заключены в интервале от до равно, очевидно, Сумма скоростей всех таких молекул равна Чтобы найти сумму

скоростей всех молекул, обладающих любыми скоростями, нужно эту функцию проинтегрировать по всем возможным скоростям от нуля до бесконечности. Следовательно, сумма всех скоростей равна

а средняя арифметическая скорость равна

Подставив сюда полученное раньше выражение (13.3) для получим:

Чтобы вычислить входящий в это выражение интеграл, преобразуем подинтегральное выражение:

Так как , то

и

Введя новую переменную получим:

Интегрирование по частям дает:

Таким образом, для интеграла в формуле (14.2) получаем выражение:

Подставляя его в (14.2), находим для выражение:

Подобным же образом можно вычислить и среднее арифметическое значение составляющей скорости по какой-либо координатной оси.

Собственно говоря, среднее значение любой компоненты скорости равно нулю, так как она с равной вероятностью может быть и положительной, и отрицательной. Но этого нельзя сказать о среднем значении модуля такой компоненты. Найдем, например, среднее арифметическое значение модуля х-компоненты скорости, т. е. величину Для него можно написать уравнение, аналогичное (14.1):

Здесь это функция распределения молекул по составляющей найденная нами раньше:

Подставив это выражение в (14.4), получим:

Интеграл, входящий в эту формулу, берется с помощью замены переменной Тогда для получается выражение:

Сравнивая выражения (14.3) и (14.5), мы видим, что среднее значение модуля -компоненты вдвое меньше среднего значения скорости

Это выражение позволяет решить интересную задачу о среднем числе ударов молекул о единицу площади стенки сосуда в единицу времени.

В § 2 (стр. 21) мы видели, что число молекул, пересекающих за время площадку площадью равно Отсюда следует, что на единицу площади в единицу времени падает

молекул. Заменив здесь ее средним значением мы получим, что среднее число ударов молекул о единицу площади в единицу времени равно:

Средняя квадратичная скорость молекул. Чтобы найти среднюю квадратичную скорость молекул нужно вычислить отношение суммы квадратов скоростей молекул единицы объема к числу молекул в этом объеме. Повторяя предыдущие рассуждения, получаем:

Поставив сюда выражение (13.3) для получим:

Интеграл, входящий сюда, находим интегрированием по частям и получаем:

Отсюда

Такое выражение мы получили и раньше.