§ 123. Деформация растяжения и сжатия. Сдвиг

Одностороннее растяжение и сжатие. Пусть цилиндрический стержень, имеющий длину I и площадь поперечного сечения подвергается действию силы направленной параллельно его оси, как показано на рис. 168.

Рис. 168.

Под действием этой силы длина стержня увеличивается на некоторую величину (если изменить направление сил на обратное, то длина не увеличивается, а уменьшается). Но это удлинение не может быть принято за характеристику

деформации. Ведь сила действует на каждую единицу длины стержня, поэтому общее удлинение будет зависеть от длины I и, таким образом, будет определяться не только действующим напряжением, но и первоначальной длиной образца.

В качестве величины деформации в данном случае необходимо избрать отношение удлинения к длине I, которое уже от I не зависит. Это отношение называется относительным удлинением стержня. Пользуясь такой характеристикой деформации одног стороннего, растяжения (сжатие означает только изменение знака деформации при изменении направления силы), мы можем записать закон Гука в виде: или

Величина называется модулем Юнга или модулем упругости и является одной из основных характеристик упругих свойств твердого тела. Его размерность совпадает с размерностью давления. 1

Иногда модуль Юнга определяют как величину напряжения, удваивающего длину растягиваемого образца. Это следует из того, что если положить в (это и означает, что. длина образца удваивается), то

Такое определение модуля Юнга носит отвлеченный характер, ибо в действительности линейная зависимость между деформацией и напряжением, выражаемая уравнением (123.1), наблюдается только при малых деформациях Не может быть и речи об удвоении длины образца твердого тела, ибо задолго до достижения такой деформации образец разрушится! Больше того, задолго до разрушения образца деформация его перестает линейно меняться с напряжением и, следовательно, само понятие модуля Юнга теряет смысл.

Уравнение (123.1) может быть записано и в другом виде:

Коэффициент К, равный обратной величине модуля Юнга, называется коэффициентом упругости (иногда его еще называют коэффициентом одностороннего растяжения). Из формулы (123.1а) видно, что он численно равен относительному удлинению стержня, которое создается напряжением, равным единице.

При одностороннем растяжении или сжатии изменяется не только длина стержня, но и его поперечные размеры, т. е. его радиус: при сжатии радиус увеличивается, при растяжении

уменьшается. Если и эту деформацию характеризовать относительным изменением радиуса то можно написать:

где коэффициент пропорциональности, который можно назвать модулем поперечного сжатия при продольном растяжении. Ясно, что между должна быть простая связь. Она выражается в том, что их отношение есть величина, постоянная для данного вещества:

Постоянная равная отношению поперечного и продольногс удлинений, называется коэффициентом Пуассона. Значением коэффициента Пуассона, очевидно, определяется изменение объема деформируемого образца.

Если бы объем тела не менялся при деформации, т. е. если бы изменение длины образца компенсировалось соответствующим изменением радиуса (для цилиндрического образца), то выполнялось бы равенство

Действительно, объем образца где радиус цилиндра, I — его длина. Изменение объема

Для того чтобы необходимо, чтобы было

откуда

В действительности для всех веществ коэффициент Пуассонг меньше 1/2 и близок к 0,30, т. е. объем тела при линейной дефор мации увеличивается (у пробки коэффициент Пуассона равен нулю)

Всестороннее растяжение и сжатие. Этот вид деформации, по характеру своему не отличающийся от только что рассмотренного возникает, когда сила, действующая на тело, распределена по веек его поверхности (рис. 169).

По тем же соображениям, которые были приведены раньше, в качестве величины деформации в данном случае нужно принять относительное изменение объема тела, т. е. величину По закону

Гука мы можем поэтому написать:

Постоянная представляет собой модуль всестороннего сжатия (или растяжения). Подобно модулю Юнга, он численно равен напряжению, изменяющему объем тела вдвое (иногда модуль называют еще модулем объемной деформации).

Рис. 169.

Напишем формулу (123.2) в виде:

Коэффициент равный обратной величине модуля всестороннего сжатия, называется коэффициентом всестороннего сжатия. Ясно, что этот коэффициент для твердых тел очень мал (порядка 10 в

Всестороннее растяжение или сжатие можно, очевидно, рассматривать как результат сложения трех деформаций одностороннего растяжения или сжатия (если они малы). Поэтому модули простым образом связаны между собой. Легко убедиться в том, что если коэффициент Пуассона равен нулю, то Оба модуля равны друг другу при

Рис. 170.

Деформация сдвига. Этот вид деформации возникает под действием сил, приложенных к двум диагонально противоположным граням тела (рис. 170). Такая система сил вызывает смещение плоских слоев, параллельных направлению сил, друг относительно друга. Из рисунка видно, что при этом крайние грани смещаются на некоторое расстояние Если первоначальная длина образца равна I, то величина деформации может характеризоваться отношением Так как это отношение при малом 1 равно где угол сдвига плоскостей, то мерой деформации принимается именно этот угол. Закон Гука может быть поэтому написан в виде:

где напряжение. Постоянная называется модулем сдвига. Измеряется он, так же как и другие модули упругих деформаций, в единицах давления.

Постоянная, обратная модулю сдвига, называется коэффициентом сдвига. Он численно равен углу сдвига, вызываемому напряжением, равным единице, в то время как модуль сдвига равен напряжению, вызывающему сдвиг на угол, равный одному радиану.

Как уже отмечалось, деформация сдвига не сопровождается изменением объема деформируемого тела.