§ 47. Стационарная теплопроводность. Вычисление коэффициента теплопроводности

В результате теплового движения газовых молекул любое сечение в объеме, занимаемом газом, пересекается молекулами. Рассмотрим, как это мы делали раньше, некоторую площадку (рис. 55), перпендикулярную к оси X, вдоль которой поддерживается постоянная разность температур (процесс стационарный), Примем, что температура больше, чем

Через площадку проходят молекулы как слева направо, так и справа налево, и если давление газа во всех точках одно и то же, то число молекул, пересекающих в 1 с единицу площади слева и справа, очевидно, одинаково.. Но молекулы, движущиеся слева, несут с собой большую энергию, чем молекулы, приходящие к площадке справа, потому что они приходят из области более высокой температуры. Поэтому возникает поток тепла (слева направо), равный разности энергий, переносимых молекулами слева и справа.

Рис. 55.

Можно по-прежнему принять, что число молекул пересекающих площадки в слева направо, равно Точно так же справа налево проходит молекул, где Здесь средняя скорость теплового движения молекул и число молекул в единице объема. Как только что отмечалось, числа молекул одинаковы, но энергии они несут различные. Найдем теперь эти энергии.

Молекулы, приходящие к площадке слева, приходят к ней с той энергией, которой они обладали после последнего перед

площадкой столкновения. Длина свободного пробега у разных молекул разнаяно для сравнительно грубой оценки можно принять, что все молекулы, приходящие к площадке испытали последнее столкновение на расстоянии от нее, равном средней длине свободного пробега Соответственно этому можно считать, что молекулы, пришедшие к площадке слева, обладают средней энергией отвечающей температуре в точке, отстоящей слева от площадки на расстоянии Количество энергии, приносимой в 1 с этими молекулами к площадки, равно

Аналогично этому, количество энергии, приносимое молекулами, приходящими справа,

где энергия молекул, соответствующая температуре в точке, отстоящей от площадки на расстоянии X справа. Следовательно, результирующее количество энергии, протекающее через площадки в 1 с, равно

где средние значения энергии одной молекулы, соответствующие температурам и в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии

Средняя энергия одной молекулы U пропорциональна температуре и ее можно выразить через теплоемкость газа

Действительно, средняя энергия молекулы равна где число степеней свободы. С другой стороны, молярная теплоемкость газа где число Авогадро. Следовательно,

Выражение для можно поэтому переписать в виде:

Разность температур между точками, находящимися по обе стороны от площадки на расстоянии X от нее, нетрудно определить из значения градиента температуры:

так как градиент температуры -есть изменение температуры на единицу длины. Знак минус показывает, что возрастанию х соответствует падение Отсюда

Сопоставляя (47.1) и (45.1), получаем выражение для коэффициента теплопроводности:

Если учесть, что где удельная теплоемкость, молекулярный вес и масса одной молекулы, то формулу (47.2) можно переписать в виде:

где плотность газа, равная (произведению массы молекулы на число молекул в единице объема).

Выражения (47.2) и (47.3) дают лишь приближенное значение коэффициента теплопроводности газа, так как численный множитель в этих формулах зависит от предположений, сделанных при вычислениях, и только приблизительно равен 1/3. Точное вычисление этого множителя представляет большие трудности.

Зависимость коэффициента теплопроводности от давления и температуры. Полученные только что формулы (47.2) и (47.3) позволяют судить о том, как коэффициент теплопроводности должен зависеть от давления и температуры газа.

Из входящих в (47.2) и (47.3) величин только число молекул в единице объема и длина свободного пробега К зависят от давления. Но первая из этих двух величин пропорциональна, а вторая — обратно пропорциональна давлению газа. Это приводит к важному заключению, что коэффициент теплопроводности газов не зависит от давления.

Этот на первый взгляд парадоксальный вывод находится, однако, в превосходном согласии с опытными данными, которые показывают, что при изменении давления газа в широких пределах коэффициент теплопроводности остается неизменным. И только при самых малых давлениях коэффициент теплопроводности начинает уменьшаться с понижением давления. Как мы увидим ниже, это обстоятельство ни в какой степени не противоречит изложенным выше представлениям о механизме теплопроводности.

Что касается зависимости от температуры, то из формулы (47.3) следует, что коэффициент теплопроводности, пропорциональный средней скорости теплового движения молекул, должен меняться

с изменением температуры так же, как меняется пропорционально

В действительности коэффициент теплопроводности, как показывает опыт, растет с температурой несколько быстрее, чем Этого следовало ожидать, поскольку коэффициент теплопроводности пропорционален, кроме того, и средней длине свободного пробега, а эта величина тоже растет с температурой. Для многоатомных газов необходимо еще учесть возрастание теплоемкости с температурой.

Возрастание длины свободного пробега с температурой связано, как мы знаем, с тем, что молекулы нельзя рассматривать как твердые шарики. Найденный на опыте более быстрый, чем по закону рост коэффициента теплопроводности с температурой является подтверждением этому.

Коэффициент теплопроводности и размеры молекул. Уравнение (47.2) можно преобразовать, если подставить в него вместо X его значение из формулы (36.4). Тогда выражение для коэффициента теплопроводности примет вид:

Величины обычно известны из других источников. Поэтому приведенная формула может служить для оценки поперечного сечения а или радиуса молекул, если измерено значение коэффициента теплопроводности.

Так, например, по данным измерений коэффициент теплопроводности кислорода при 0 °С равен Пользуясь уже известными нам значениями получим:

Отсюда радиус молекулы

Размеры молекул большинства газов — одного порядка величины, как это видно из табл. 8.

Таблица 8 (см. скан)

Таким образом, из величин, входящих в выражение для коэффициента теплопроводности и о приблизительно одинаковы для всех идеальных газов. Поэтому различие в значениях коэффициента теплопроводности может быть объяснено только различием значений средней скорости молекул Так как скорость молекул при данной температуре зависит от их массы, то следует ожидать, что у легких газов, молекулы которых обладают большей скоростью теплового движения, коэффициент теплопроводности должен быть больше, чем у тяжелых газов. Это хорошо подтверждается опытом, как это видно из табл. 9, в которой приведены экспериментальные данные о коэффициентах теплопроводности газов.

Таблица 9 (см. скан)

Водород благодаря своей хорошей теплопроводности используется для охлаждения различных промышленных агрегатов в тех случаях, когда водяное охлаждение по тем или иным причинам недопустимо, например, в крупных турбогенераторах.

Если размеры молекул газа известны из каких-нибудь других измерений, то измерение теплопроводности позволяет определять значения а. Размеры молекул можно, разумеется, вычислить и из других коэффициентов переноса.

Измерение коэффициента теплопроводности. Экспериментальное изучение теплопроводности газов затрудняется обычно тем, что перенос тепла в газе может происходить не только описанным выше механизмом теплопроводности, но и так называемой свободной конвекцией, легко возникающей в газе. Конвекция — это перенос тепла вместе с перемещением массы газа под действием силы тяжести при наличии разности температур. Конвекция, так же как и теплопроводность, стремится выравнять температуры в газе, поэтому отличить на опыте оба эти механизма теплопередачи затруднительно, и при измерении теплопроводности необходимо обеспечить такие условия, при которых конвекция не может возникнуть. Один из наиболее распространенных методов измерения коэффициента теплопроводности газов состоит в следующем (Шлейермахер, 1888 г.).

Исследуемым газом заполняют пространство между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами (рис. 56), один из которых (почти всегда — внутренний) нагревается

элекгрической печью, потребляющей мощность а другой охлаждается так, чтобы его температура оставалась все время постоянной. Внутренним цилиндром, в частности, может быть просто тонкая проволока, по которой пропускается электрический ток, так что она же служит и нагревателем (рис. 57).

Через некоторое время после включения нагревателя устанавливается стационарное состояние, при котором температура внутреннего, нагреваемого цилиндра тоже становится постоянной.

Рис. 56.

Рис. 57.

Тем самым между внутренним и внешним цилиндрами установится постоянная разность температур Величина этой разности температур зависит от теплопроводности газа. Нетрудно найти эту зависимость.

Если высота цилиндра равна (во избежание ошибки, связанной с конвекцией, прибор следует устанавливать вертикально), то количество тепла, протекающее в 1 с через любое цилиндрическое сечение радиуса (т. е. определяется уравнением

где градиент температуры вдоль радиуса цилиндра. Если высота цилиндра достаточно велика по сравнению с радиусом, то температуру вдоль оси цилиндра можно считать повсюду одинаковой.

В стационарном состоянии равно мощности нагревателя Следовательно,

откуда

Интегрируя, получаем:

где С — постоянная интегрирования, которую можно найти из условия, что температура при при т. е.

Таким образом, установившаяся температура нагреваемого цилиндра равна

Измерив температуры и зная геометрические размеры прибора и мощность нагревателя, можно вычислить коэффициент теплопроводности: