§ 10. Понятие о вероятности

Закон Больцмана, как и барометрическую формулу, удобно трактовать с несколько иной точки зрения, пользуясь понятием вероятности.

К этому термину, в отличие от «достоверности», «определенности», мы прибегаем в тех случаях, когда идет речь о случайных событиях, т. е. таких, условия наступления которых по тем или иным причинам

неизвестны и которые поэтому нельзя заранее с уверенностью предсказать.

Приобретая, например, билет в трамвае, мы обычно заранее не знаем, будет ли его номер четным или нечетным. Поэтому такое «событие», как приобретение билета именно с четным номером, можно считать событием случайным. Если мы, например, приобретем (разумеется, не в одну покупку) 10 билетов, то в их числе могут казаться и три, и шесть, и восемь билетов с четными номерами. Но может случиться и так, что среди них не окажется ни одного четного, или, наоборот, четными окажутся все 10 билетов.

Однако в этой кажущейся полнейшей произвольности есть и определенная закономерность. Она заключается в том, что, если повторять опыт (покупки билетов) достаточно большое число раз, то приблизительно в половине случаев билет будет иметь четный номер. И чем больше будет число таких «опытов», тем ближе к половине будет доля билетов с четными номерами. В таком случае и говорят, что вероятность приобретения билета с четным номером равна 1/2.

Точно так же, бросая много раз монету, мы можем быть уверены, что приблизительно в половине случаев она упадет обращенной вверх стороной с гербом. И это будет тем вероятнее, чем больше будет число бросаний.

Эти и другие подобные им опыты позволяют нам дать следующее определение вероятности: вероятностью события называется предел, к которому стремится отноисение числа опытов, приводящих к его осуществлению, к общему числу опытов при беспредельном увеличении последнего.

Если из опытов (или наблюдений) приводят к реализации интересующего нас события, то вероятность этого события выражается формулой:

В рассмотренном нами случае с номерами билетов вероятность четного номера равна Такова же, конечно, и вероятность нечетного номера. Сумма этих двух вероятностей равна единице. Она очевидно дает нам вероятность «события», заключающегося в том, что билет будет иметь или четный, или нечетный номер. Но такое событие неизбежно, так что вероятность, равная единице, означает достоверность. Наоборот, если какое-то событие невозможно (например, полное отсутствие номера), то его вероятность равна нулю.

В примере с билетами (также как и с бросанием монет) «опыт» (покупка билета) может привести к одному из двух исходов: номер билета может быть четным или нечетным, и оба эти исхода являются равновозможными. Но так бывает не всегда. Например, из того факта, что при выстреле в цель возможно лишь два исхода — попадание или промах, не следует, что вероятность попадания равна

1/2, так как попадание и промах не являются равновозможными результатами выстрела. И если будет произведено очень много выстрелов, то отношение числа попаданий к числу выстрелов едва ли будет равно половине: у искусного стрелка, снабженного хорошо пристрелянным оружием, оно будет близким к единице, у плохого оно может мало отличаться от нуля. Однако, хотя вероятности каждого из двух возможных исходов выстрела и не равны их сумма (для данного стрелка) и в этом случае равна единице: о том, что выстрел приведет к какому-то исходу — попаданию или промаху, можно утверждать с полной определенностью!

Теорема сложения вероятностей. Рассмотрим теперь еще один пример, который позволит нам сформулировать одно из важных положений теории вероятностей и, кроме того, дать еще одно определение самой величины вероятности. Оно будет нам полезно в дальнейшем.

Пусть в ящике лежат 20 вполне одинаковых по своим размерам и весу гладких шаров и пусть 5 из них выкрашены в белый цвет, а остальные — в черный. Если мы теперь извлечем из ящика один шар, то ясно, что, поскольку во всем, кроме цвета, шары друг от друга не отличаются, вероятность вынуть один какой-нибудь шар равна вероятности вынуть любой другой. Для каждого шара, который мы пожелали бы как-нибудь отметить, вероятность быть вынутым равна, очевидно,

Посмотрим теперь, какова вероятность того, что будет вынут белый шар? Так как для каждого шара (все равно, белого или черного) вероятность быть вынутым равна 1/20, а всего белых шаров пять (и нам все равно, какой из них будет вынут), то искомая вероятность равна сумме вероятностей для всех белых шаров:

Этот результат выражает одно из важных положений теории вероятностей — теорему сложения вероятностей, которая гласит: если — вероятности нескольких исключающих друг друга событий, то вероятность того, что осуществится какое-нибудь одно из них, равна сумме вероятностей всех этих событий.

Значит, сумма вероятностей нескольких событий дает нам вероятность того, что наступит или одно событие, или другое, или третье и т. д. При этом предполагается, что эти события, или хотя бы два из них, не могут произойти одновременно. Так, в нашем примере это вероятность того, что будет вынут один из белых шаров, а так как операция извлечения шара производится только один раз, то если вынут один какой-нибудь белый шар, то не может быть вынут никакой другой.

Приведенный пример позволяет дать новое определение вероятности, несколько отличающееся от прежнего. Мы нашли, что

вероятность того, что будет вынут белый шар, равна 5/20. Но число 20 — это число всех возможных исходов операции извлечения шара, а число 5 — это число случаев (из возможных 20), благоприятствующих наступлению данного события — появлению белого шара. Это и позволяет определить вероятность данного события как отношение числа случаев, благоприятствующих его наступлению, к общему числу возможных случаев, если все случаи равновозможны.

Это определение вероятности принадлежит Лапласу. Оно, как легко видеть, не противоречит прежнему определению. Для приведенного только что определения вероятности существенно, чтобы все случаи были равновозможны, равновероятны. Именно так обстоит дело в нашем примере с шарами.

При физических применениях теории вероятностей обычно тоже приходится иметь дело с равновероятными событиями.

Вернемся теперь к формуле закона Больцмана (9.2). Из того, что здесь было сказано о вероятности, ясно, что величина в этой формуле как раз и имеет смысл вероятности. Ведь любая из молекул может обладать потенциальной энергией Значит, это общее число возможных случаев. В действительности же энергией U обладают молекул. Следовательно, это число, которое мы раньше назвали числом «благоприятствующих» случаев. Поэтому отношение которое мы называли (и с полным основанием) долей молекул, обладающих энергией есть в то же время и вероятность того, что любая из молекул обладает такой энергией.

Теорема умножения вероятностей. Нам остается изложить еще одно важное положение теории вероятностей — теорему умножения вероятностей. Она относится к случаю, когда определяется вероятность сложного события, состоящего в совмещении двух или больше независимых событий. События называются независимыми, если вероятность любого из них не зависит от того, наступит или не наступит любое другое.

Обращаясь к прежним примерам с билетами и стрелком, мы можем, например, поставить такую задачу: какова вероятность того, что стрелок, отправляясь к стрельбищу на трамвае, приобретет билет с четным номером, а вслед затем его первый выстрел увенчается попаданием? Ясно, что эти два события являются независимыми.

Допустим, что для нашего стрелка вероятность попадания равна 0,8. Это значит, что в среднем из 10 посещений стрельбища он в восьми случаях первым выстрелом попадает в цель. Но при этом только в половине из них он приобретет в то же время билет с четным номером, так как вероятность получить четный билет равна 1/2. Значит, искомая вероятность сложного события — совпадения четного номера и успешного выстрела — равна произведению вероятностей каждого из них:

Вероятность совмещения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей каждого из них в отдельности.

Вероятность и средние значения величин. В предыдущих параграфах мы уже неоднократно пользовались средними значениями различных физических величин, характеризующих движение молекул: средней скоростью, средней энергией и т. д. Мы прибегали к этому приему описания молекулярных систем потому, что при большом числе частиц, из которых они состоят, нет ни возможности, ни необходимости рассматривать величины, относящиеся к каждой из них в отдельности. Как мы видели, использование средних значений величин не помешало нам получить вполне точные законы, как, например, уравнение состояния идеального газа.

Нетрудно видеть, что средние значения физических величин тоже тесно связаны с понятием вероятности.

В силу непрерывных беспорядочных движений частиц всякая молекулярная система в течение достаточно большого промежутка времени должна пройти через бесчисленный ряд состояний, сменяющих друг друга очень сложным образом из-за многочисленных молекулярных взаимодействий, В каждом из состояний наша система за длительное время побывает не один, а много раз.

Пусть требуется определить некоторую величину а, относящуюся к системе или к любой ее части. Для этого мы должны проделать (конечно, мысленно) множество наблюдений над системой в различных ее состояниях. Обозначим число таких наблюдений через Тогда окажется, что при наблюдениях (из мы найдем, что интересующая нас величина имеет значение наблюдений дадут для а значение Среднее значение а, по определению, равно:

Так как сумма равна общему числу наблюдений то

Ноо , т. е. отношение числа наблюдений, при которых величина а имеет значение к общему числу наблюдений есть вероятность этого значения. Точно так же это вероятность того, что значение а равно Следовательно, среднее значение величины а равно сумме произведений отдельных ее значений на соответствующие вероятности:

Мы уже отмечали, что законы молекулярной физики имеют всегда вероятностный характер, но из-за этого они ничего не теряют в своей точности и определенности. Происходит это потому, что для всякой системы, находящейся в неизменных внешних условиях, физические величины, описывающие ее, как оказывается, тоже практически постоянны и равны их средним значениям. В таких случаях говорят, что система находится в состоянии равновесия. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен ниже.