§ 53. Молекулярное течение газа в цилиндрической трубе

При обычных давлениях течение газов по трубам (при малых скоростях) описывается формулой Пуазейля, согласно которой объем газа, протекающего в единицу времёни через трубу радиусом под действием разности давлений на длине трубы I, равен:

где вязкость газа.

Для массы газа протекающей через трубу в единицу времени, получаем формулу

Здесь средняя плотность газа в трубе, равная полусумме плотностей при давлениях Плотность газа по уравнению состояния идеального газа равна:

среднее значение давления, равное

Подставив в (53.2) это значение получаем:

Такова масса газа, протекающего в единицу времени через трубу радиусом при вязкостном течении (вязкость при температуре

Закон Пуазейля, выражаемый формулами (53.1), (53.2) и (53.3), применим только к плотному газу, когда длина свободного пробега молекул мала по сравнению с радиусом трубы, по которой течет газ. В этом случае течение газа можно рассматривать как течение под действием разности давлений сплошной среды, в которой не сказывается молекулярная структура газа, и пользоваться методами гидродинамики. При молекулярном течении газа, когда длина свободного пробега молекул больше поперечных размеров трубы, газ уже нельзя рассматривать как сплошную среду. Наоборот, в этом случае молекулярное строение газа проявляется в полной мере, и приведенные только что формулы неприменимы.

Расчеты, которые мы здесь не приводим, показывают, что при молекулярном течении газа через трубу (капилляр) радиуса количество газа (в молях), протекающего в единицу времени, определяется формулой

где площадь сечения трубы, разность давлений на длице трубы Учитывая по-прежнему, что и получаем:

Эту формулу мбжно представить и в таком виде:

Соответственно этому масса газа

Последняя формула и формула (53.6) аналогичны формулам (52.4) и (52.5) для молекулярной эффузии, с той лишь разницей, что вместо площади отверстия здесь входит величина также имеющая размерность площади.

В отличие от формулы Пуазейля для вязкостного течения, количество газа, протекающего через цилиндрическую трубу в условиях вакуума, пропорционально не четвертой, а третьей степени радиуса трубы.

Как и следовало ожидать, при молекулярном течении через трубу при заданной разности давлений, так же как и при молекулярной эффузии, количество газа (53,4), протекающего в единицу времени, зависит только от скорости теплового движения молекул и от геометрических размеров трубы, но не связано с вязкостью газа.

Из закона молекулярного течения следует такой на первый взгляд парадоксальный вывод, что масса протекающего в единицу времени газа зависит только от разности давлений (при данных размерах трубы, при определенной температуре и для данного газа) на входе и выходе трубы, но не зависит от величин самих давлений Это значит, например, что масса газа, протекающего в 1 с через Отверстие или капилляр диаметром в не зависит от того, будут ли давления на концах трубы (или по обе стороны от отверстия) 0,015 и или 0,002 и несмотря на то, что средняя плотность газа в первом случае в 10 раз больше, чем во втором (длина свободного пробега молекул при давлении около 0,5 см, т. е. значительно больше диаметра капилляра).

Это объясняется тем, что при одновременном увеличении дав. ления по обе стороны отверстия (или капилляра) увеличивается число молекул, проходящих как в одном направлении, так и в другом. При отсутствии столкновений эти встречные потоки молекул друг на друга не влияют и разность этих потоков, которой и

определяется количество протекающего газа, остается постоянной, не зависящей от давления. Для плотных же газов масса протекающего через капилляр газа при данной разности давлений пропорциональна среднему давлению газа как это следует из закона Пуазейля (53.3).

Формулы (53.3) и (53.7) проверены многочисленными опытами, каждая своей области давлений. В промежуточных областях давлений установлены эмпирические, приближенные формулы, описывающие течение газа.

Формулами (53.3) и (53.7) пользуются при расчете геометрических размеров (диаметра и длины) - трубопроводов, предназначенных для пропускания газа с заданной скоростью, например для откачки газа из какого-либо сосуда. Из этих формул видно, насколько сильно зависит скорость откачки от диаметра трубы, - соединяющей откачиваемый объем с насосом. При неправильном выборе диаметра трубопровода (слишком малом) может оказаться, что количество газа, которое способен пропустить трубопровод, меньше того, которое может откачать насос. В этом случае производительность насоса не может быть полностью использована,