§ 12. Ряд Фурье в комплексной форме
Пусть имеем ряд Фурье для периодической функции 
с периодом 
Выразим 
через показательные функции. Для этого воспользуемся известными формулами (см. формулы (3) § 5 гл. VII т. I):
Итак,
Подставляем эти значения 
в формулу (1) и производим соответствующие преобразования:
Введем обозначения
При. этих обозначениях формула (2) примет вид
Последнее равенство записывают более компактно:
Это и есть комплексная форма ряда Фурье.
Выразим коэффициенты 
через интегралы. Пользуясь формулами (4), (5) и (6) § 1, можем формулы (3) переписать так:
Итак,
Аналогично
Формулы (5) и (5") и выражение 
можно объединить в одну формулу
называются комплексными коэффициентами Фурье для функций 
Усли функция 
периодическая с периодом 
, то ряд Фурье для f(x) будет
(см. формулу (3) § 5).
Очевидно, что. в этом случае ряд Фурье в комплексной форме вместо формулы (4) выразится формулой
Коэффициенты ряда 
выразятся формулами
Принята, особенно в электротехнике и радиотехнике, следующая терминология. Выражения 
называются гармониками, числа 
называются волновыми числами функции
Совокупность волновых чисел называется спектром. Если откладывать эти числа на числовой оси, то получим совокупность отдельных точек. Такую совокупность точек называют дискретной, а соответствующий спектр — дискретным. Коэффициенты 
определяемые формулами (9), называют комплексной амплитудой. Отметим, что. в некоторых трудах по электротехнике и радиотехнике совокупность модулей амплитуд 
также называют спектром функции 
