11. Непрерывность группы вращений.

Докажем, что в комплексном пространстве и вещественном с определенной фундаментальной формой группа!) вращений непрерывна. Это означает, что каждое вращение может быть связано с тождественным преобразованием при помощи непрерывной последовательности вращений. Достаточно доказать эту теорему для

вращения, являющегося результатом применения двух симметрий. Пусть эти симметрии определяются двумя единичными векторами а и если можно найти по крайней мере один единичный вектор с, ортогональный к а и Рассмотрим непрерывную последовательность вращений, определяемых симметриями, которые соответствуют единичным векторам

где обозначает вещественный параметр, изменяющийся от 0 до при получаем данное вращение, при вращение, являющееся результатом двукратного применения одной и той же симметрии (соответствующей вектору с), то есть тождественное преобразование; итак доказана

Теорема. В комплексном эвклидовом пространстве и в вещественном эвклидовом пространстве с определенной фундаментальной формой вращения (вещественные во втором случае) образуют непрерывную группу.