V. Случай вещественного эвклидова пространства
142. Матрицы, соответствующие вещественным векторам.
Будем считать координаты 
комплексно сопряженными. Мы знаем (п. 112), что тогда матрица 
соответствующая вектору, является эрмитовой, то есть матрица Н порядка 
равна транспонированной сопряженной с Е. Если вектор единичный, то Н является матрицей, обратной матрице Н, причем эта последняя унитарна. Отсюда нетрудно вывести, что у матрицы 
определяющей вращение, составляющие матрицы — унитарные унимодулярные.
143. Сопряженные спиноры.
Как и в вещественном пространстве 
за спинор, сопряженный спинору 
, можно принять
преобразуется вещественной симметрией А как спинор, если 
четное, и не преобразуется как спинор, если 
нечетное (п. 114).
Отсюда вытекает, что величины 
дают 
-вектор или 
-вектор в зависимости от четности или нечетности 
Скаляр 
является суммой квадратов модулей составляющих 
Тензор 
разлагается на скаляр, вектор, бивектор, ...
-вектор.
144. Сопряженные полуспиноры.
Полуспинор, сопряженный с данным, того же рода, что и данный, если 
четное, и другого рода, если 
нечетное.
При 
нечетном произведение полуспинора на его сопряженный разлагается на вещественные скаляр, бивектор, 
(
-вектор. При четном 
разложение дает также скаляр, бивектор и т. д., но этот ряд оканчивается полу-у-вектором,
146. Параллелизмы в эллиптическом пространстве 7 измерений.
При 
три пространства: 1° векторов, 2° полуспиноров первого рода, 3° полуспиноров второго рода являются вещественными эвклидовыми пространствами. Каждый вещественный единичный вектор одного из этих пространств дает в любом из двух других эквиполентность для единичных бивекторов. Отсюда вытекает с точки зрения проективной геометрии существование 
параллелизмов для ориентированных прямых в эллиптическом пространстве (вещественном проективном) 7 измерений.
