123. Условия простоты полуспинора.

Полуспинор тогда и только тогда является простым, если он обращает в нуль все тензоры при (некоторые из этих тензоров тождественно равны нулю). В этом выражении X обозначает произвольный -вектор пространства но сделанное выше замечание показывает, что можно ограничиться -векторами пространства Мы знаем что рассматриваемая величина тождественно равна нулю, если или . С другой стороны, она также тождественно равна нулю, если нечетно: в самом деле, матрица является суммой произведений матриц каждая матрица примененная к спинору, меняет четность числа индексов у каждой его составляющей; таким образом, если (или ) нечетно, то матрица изменяя четность числа индексов полуспинора у, превратит его тождественно в нуль. Остается, следовательно, рассматривать значения меньшие и отличающиеся от на числа, кратные 4.

Теорема. Полуспинор тогда и только тогда является, простым, если его составляющие обращают тождественно в нуль все величины где X обозначает произвольный -вектор пространства причем принимает все значения, меньшие у и сравнимые с

В пространстве измерений полуспиноров данного вида простые полуспиноры образуют, таким образом, многообразие, определяемое системой квадратичных уравнений. Простой подсчет показывает, что число этих линейно независимых уравнений равно

это число равно нулю при для оно соответственно равно

При имеем соотношение