II. Представления группы вращений и отражений Лоренца

162. Две категории неприводимых представлений.

Группа вращений и отражений вещественного эвклидова пространства 4 измерений, группа собственных вращений и отражений пространства частного принципа относительности, наконец, группа собственных вращений и отражений псевдоэвклидова пространства, фундаментальная форма которого приводима к сумме двух положительных и двух отрицательных квадратов, имеют одинаковые линейные представления.

В любом из этих случаев симметрия преобразует то есть составляющую неприводимого тензора в составляющую тензора Применение теорем пп. 88,89 приводит нас к следующему предложению: Теорема. Неприводимые представления группы вращений и отражений (собственных) вещественного эвклидова пространства 4 измерений распадаются на две категории: 1° представления, индуцирующие в группе вращений линейное неприводимое представление вида каждому целому числу соответствуют два неэквивалентных линейных представления полной группы;

2° представления, индуцирующие в группе вращений приводимое линейное представление; это последнее разлагается на два неприводимых неэквивалентных представления Каждой паре различных целых чисел соответствует единственное неприводимое представление полной группы.

Обозначим через тензор, составляющие которого преобразуются как составляющие тензора производящей формы

через — тензор, у которого составляющие преобразуются так же, но с изменением знака при каждом отражения.

При определяет вектор, следовательно, -тривектор.

Через будем обозначать тензор производящей формы

163. Разложение произведения ...

Составляющие этих двух тензоров задаются производящими полиномами:

Составим полиномы

Коэффициенты различных одночленов, составленных из дают линейных комбинаций составляющих тензора-произведения. Сумма всех этих чисел равна квадрату суммы величин она равна, таким образом, это последнее число как раз равно порядку рассматриваемого тензора, разложение которого мы ищем. Каждый из полиномов определяет неприводимый тензор группы вращений, именно, тензор Таким образом, имеем искомое разложение

где первая сумма распространяется на все пары целых чисел причем вторая — на все целые числа удовлетворяющие неравенствам

Тензоры второй суммы суть вида так как

при отражении величины — преобразуются одна в другую с изменением знака, так что полином экви валентен производящему полиному тензора

Если бы оба множителя левой части были то результат разложения был бы тот же самый. Если бы только один из множителей был то все члены во второй сумме правой части были бы

Например,

произведение двух тривекторов разлагается на скаляр (скалярное произведение), бивектор и тензор, эквивалентный совокупности гармонических полиномов второго порядка.

164. Разложение произведения ...

Разложение производится аналогично. Тензоры

дают все неприводимые части искомого произведения, если и придавать независимо друг от друга значения

но если то этот тензор надо Учесть два раза, приписывая ему в одном случае верхний знак в другом — верхний знак

Например, при перемножении тривектора и спинора следует положить что дает Мы получим эквивалентное разложение, исходя из произведения вектора и спинора. Вообще два произведения:

эквивалентны хотя в этих произведениях, имеющих одинаковую вторую часть, первые множители не эквивалентны. В рассматриваемом примере часть разложения имеет в качестве производящего полинома

Если вектор x заменить на то получим неприводимый тензор

Составляющие этого тензора образуют одну из неприводимых частей производной спинорного поля. Спинорные поля, обращающие в нуль этот тензор, определяются формулами

где — произвольные постоянные. Любое движение и отражение преобразует такое спннорное поле в поле того же вида.

165. Разложение произведения ...

Аналогичное рассуждение приводит к разложению

где суммы распространяются на все значения , удовлетворяющие неравенствам

Если

надо соответствующий символ заменить на Например, для произведения двух спиноров

разложение дает бивектор, вектор, тривектор, скаляр и -вектор, что согласуется с тем, что было получено непосредственно. В частности, вектор и тривектор даются производящими полиномами

из которых первый эквивалентен полиному