II. Бесконечно малые вращения и определение эвклидовых тензоров

72. Бесконечно малые вращения пространства Е3

Мы приступаем теперь к отысканию всех линейных представлений группы вращений. Мы уже рассматривали выше (п. 19) бесконечно малые вращения, которые определяют поля скоростей при движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Наиболее общее бесконечно малое вращение, примененное к вектору определяется матрицей третьего порядка, являющейся линейной комбинацией с комплексными или вещественными коэффициентами трех матриц базиса, например тех, которые определяют вращения с единичной угловой скоростью вокруг координатных осей: этими тремя матрицами являются

В применении к спинорам вращения дают аналогичные матрицы.

Вращение на угол около вектора определяется, как мы видели выше матрицей

Вращение с угловой скоростью, равной 1, определяется, таким образом, матрицей Имеем, следовательно, три матрицы базиса

73. Точное определение изучаемых ниже представлений.

Рассмотрим теперь какое-нибудь линейное представление группы вращений, однозначное или не однозначное. Необходимо дать точное определение того, что мы подразумеваем под этим понятием.

Зададиг; в группе вращений достаточно малую окрестность тождественного преобразования, например, совокупность вращений на угол, меньший некоторого фиксированного угла агтт. Каждому вращению в этой окрестности отнесем одну и только одну матрицу данного порядка, которая удовлетворяет следующим условиям:

1° элементы матрицы являются непрерывными функциями параметров, от которых зависит

2° если принадлежат к данной окрестности, то произведение матриц, соответствующих вращениям равно матрице, соответствующей вращению

Каждое вращение на произвольный угол может быть получено как произведение конечного числа вращений из данной окрестности; поставим ему в соответствие матрицу, получающуюся как произведение матриц, соответствующих этим различным вращениям. Мы получаем, таким образом, то, что будем называть представлением группы вращений. Относящиеся к снинорам матрицы, которые мы поставили в соответствие с различными вращениями, удовлетворяют формулированным выше условиям (угол а равен

Неоднозначность представления выражается в том, что матрица, изменяясь непрерывно в зависимости от непрерывного изменения соответствующего вращения, может не принимать неходкого значения, когда соответствующее вращение возвращается к исходному.

74. Основная теорема.

Линейные преобразования, соответствующие некоторому линейному представлению, образуют линейную группу, обладающую тем свойством, что элементы представляющих матриц являются непрерывными функциями параметров, от которых они зависят [непрерывную линейную группу). Имеет место следующая основная теорема:

Теорема. Каждая непрерывная линейная группа может быть образована при помощи бесконечных малых преобразований.

Эта теорема выражает в том случае, которым мы занимаемся, в частности, следующий факт; если вращение происходит вокруг оси причем угол поворота то соответствующая матрица обладает тем свойством, что стремится при к определенной матрице представляющей бесконечно малое вращение вокруг оси с единичной угловой скоростью. В общем случае бесконечно малое вращение с единичной угловой скоростью вокруг оси, определяемой направляющими косинусами представляется матрицей

Наконец, если мы возьмем непрерывную последовательность вращений, зависящих от параметра и применим к переменным рассматриваемого линейного представления эту непрерывную последовательность вращений, то переменные будут удовлетворять системе линейных дифференциальных уравнений вида

Отсюда вытекает, что, зная матрицы мы можем определить матрицы при помощи интегрирования линейных дифференциальных уравнений. Более точно, мы интегрируем уравнения

где — три параметрических направляющих косинуса; выражения, определяющие в пространстве линейного представления вектор и в функции от и его значения дают для всех достаточно малых значений линейные преобразования, элементы которые являются аналитическими функциями от эти преобразования соответствуют вращению на угол вокруг оси Затем мы дополняем представление так, как было указано выше.

75. Представления группы вещественных вращений и аналитические представления группы комплексных вращений.

В случае вещественных вращений в эвклидовом вещественном пространстве параметры вещественны. В вещественном псевдоэвклидовом пространстве следует взять линейную комбинацию с вещественными коэффициентами трех матриц, соответствующих трем линейно независимым бесконечно малым вращениям. Наконец, в случае комплексных вращений мы придадим произвольные комплексные значения.

Отсюда выводим следующую теорему:

Теорема. Каждое линейное представление группы вещественных вращений дает линейное представление группы комплексных вращений.

Достаточно подставить в элементах матриц представления, являющихся аналитическими функциями от вещественных параметров вещественного вращения, вместо этих вещественных параметров комплексные; будем говорить, что второе представление (группы комплексных вращений) получается из первого (группы вещественных вращений) переходом из вещественной области в комплексную. Полученные представления группы комплексных вращений называются аналитическими; существуют, как увидим ниже, представления не аналитические (п.п. 82-84).

Наконец, переход из действительной области в комплексную сохраняет характер неприводимости линейного представления, так как, если бы аналитическое представление комплексной группы было приводимо, то представление вещественной группы, являющейся ее подгруппой, было бы также приводимо.

Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между:

1° неприводимыми аналитическими представлениями группы комплексных вращений,

2° неприводимыми представлениями группы вещественных вращений в вещественном эвклидовом пространстве,

3° неприводимыми представлениями группы собственных вещественных вращений в вещественном псевдоэвклидовом пространстве.

В этом последнем случае необходимо ограничиться случаем собственных вращений, так как совокупность всех вращений не образует непрерывцдй группы.

76. Уравнения структуры.

Между матрицами определяющими бесконечно малые вращения в любом линейном представлении, существуют некоторые соотношения, которые мы сейчас и установим.

Рассмотрим для этого два семейства вращений, из которых каждое зависит аналитически от одного параметра, иричем вращение приводится к тождественному вращению, когда параметр равен нулю.

Пусть — соответствующие матрицы, определяющие вращения векторов. Для простоты предположим, что первое вращение происходит на угол и вокруг оси второе — на угол вокруг оси Построим вращение

эту матрицу можно разложить по степеням и и она равна 1 для другой стороны, она равна 1 при или следовательно, все члены разложения, кроме первого, будут содержать множитель главная часть матрицы имеет вид где — матрица, определяющая бесконечно малое вращение. Чтобы получить эту матрицу достаточно разложить произведение ограничиваясь в каждом множителе членом первого порядка. Пусть

тогда

Таким образом, приходим к следующей теореме:

Если — матрицы, определяющие два бесконечно малых вращения векторов, то матрица соответствует, также бесконечно малому вращению.

Важно отметить следующий факт: если взять произвольное данейное представление группы вращений, то на основании того рассуждения, при помощи которого мы пришли к матрице можно утверждать, что бесконечно малому вращению. соответствует в линейном представлении матрица — если — матрицы., соответствующие

В частости, если матрицы, определяющие бесконечно малые вращения базиса линейного представления, то матрицы являются линейными комбинациями причем коэффициенты в этих линейных комбинациях одна а те же для всех линейных представлений группы вращений.

Рассмотрим, в частности, группу спиноров, для которой

имеем

и два аналогичных соотношения, откуда вытекает

Теорема. Матрицы определяющие в некотором линейном представлении группы вращений вращения с единичной угловой скоростью вокруг координатных осей, удовлетворяют соотношениям структуры:

Нетрудно проверить эти соотношения на матрицах, применяемых к векторам:

Эта теорема допускает обращение, которое является частным случаем второй основной теоремы теории групп Ли, но ею мы не будем пользоваться в дальнейшем.

77. Неприводимые представления группы вращений.

Перейдем теперь к определению линейных представлений группы вращений.

Вместо неизвестных матриц мы возьмем три линейных комбинации

получаем новые соотношения структуры

Определим сначала все неприводимые представления. Пусть — собственное значение матрицы С; в пространстве представления существует вектор и, удовлетворяющий соотношению мы будем говорить, что он принадлежит собственному значению Уравнения (2) дают

то есть, если вектор не равен нулю, матрица С имеет собственное значение , и если не равен нулю, матрица С имеет собственное значение

Предположим, что собственное значение матрицы X выбрано так, что не является уже собственным ее значением. Тогда Из соотношений

выводим, применяя к вектору и соотношения (2),

затем, применяя те же соотношения к имеем:

Так как число независимых векторов ограничено, существует такое целое число что является линейной комбинацией Предположим, что — наименьшее число, обладающее этим свойством, и пусть

умножая это равенство слева , получим аналогичное соотношение:

Это соотношение возможно только в том случае, если все коэффициенты равны нулю, откуда

мы получаем, таким образом, соотношение умножая которое на С, имеем:

следовательно,

Отсюда вытекает, что независимые векторы преобразуются линейно между собой при бесконечно малых, а следовательно, и конечных вращениях. Так как представление неприводимо, то порядок его равен ; оно полностью определяется целым числом так как

Мы приходим, таким образом, к теореме:

Теорема. Существует не более одного неприводимого линейного представления данного порядка.

Ввиду того, что раньше было доказано существование неприводимого представления любого порядка, отсюда вытекает, что кроме указанного представления любого порядка других не существует.

Отметим, что случай дает представление первого порядка, для которого матрицы А, В, С равны нулю; это — тождественное представление:

78. Приводимые представления.

Рассмотрим снова какое-нибудь линейное представление. Если оно приводимо, то существуют векторы, независимые от рассмотренных выше

векторов Мы будем предполагать в дальнейшем, что наибольшее собственное значение матрицы С. Предположим сначала, что существует, по крайней мере, один вектор независимый от а и принадлежащий тому же собственному значению матрицы С. Применяя к те же рассуждения, что и к мы установим существование векторов преобразующихся линейно между собой неприводимым образом. Будем продолжать таким же образом, если будут находиться новые векторы, принадлежащие собственному значению матрицы С; мы получим таким образом некоторое число совокупностей по векторов, причем в каждой такой совокупности векторов преобразуются неприводимым образом. Полученные векторов линейно независимы; в самом деле, они преобразуются как векторы линейного представления, которое разлагается на неприводимых эквивалентных частей; тогда, как известно (п. 34), каждое линейное соотношение между рассматриваемыми векторами может быть получено исключительно приравниванием нулю всех векторов одной из этих частей или, по крайней мере, всех векторов

но между векторами соответствующими собственному значению не существует по предположению никакой линейной зависимости. Следовательно, векторов А серий линейно независимы. Обозначим через линейное пространство, которое они определяют.

Предположим теперь, что порядок представления больше и что существуют собственные значения матрицы С, которые дают векторы, не лежащие в пространстве Пусть — наибольшее из этих собственных значений. Пусть — вектор, удовлетворяющий соотношению вектор

принадлежащий собственному значению матрицы С, должен лежать в раз он лежит в он может быть получен при помощи преобразования В из другого вектора пространства принадлежащего ссиственному значению у; рассматривая тогда вместо вектор который не принадлежит к мы видик, что Меняя обозначение на мы получаем вектор не принадлежащий к и удовлетворяющий соотношениям

Мы можем повторить приведенные выше рассуждения и найти последовательность векторов которые преобразуются между собой неприводным образом.

Продолжая этот процесс дальше, мы придем в результате к пространству которое преобразуется группой вращения вполне приводимым образом и содержит все векторы, принадлежащие собственным значениям матрицы С.

Если пространство совпадает с пространством Е данного представления, то последнее вполне приводимо. Мы докажем теперь, что действительно совпадает с Е.

79. Теорема о полной приводимости.

Изменим наши обозначения и возьмем в пространстве базис, составленный из векторов которые принадлежат различным собственным значениям матрицы С. Собственное значение которому принадлежит является целым числом или половиной целого числа. Напомним, что существует столько независимых векторов, принадлежащих собственному значению — сколько и собственному значению и что если то каждый вектор, принадлежащий собственному значению может быть получен применением преобразования В к вектору, принадлежащему собственному значению —1.

Предположим, что пространство имеет измерений, причем у меньше числа измерений пространства Е. Если мы условимся рассматривать, как равные, два вектора пространства Е,

разность между которыми принадлежит к то получим в пространстве с числом измерений линейное представление группы вращений. Пусть такое собственное значение матрицы С в этом Представлении, что не является собственным значением. В Е существует вектор не принадлежащий к и обладающий тем свойством, что

Если мы рассмотрим вектор

то получим

Отсюда вытекает, что является одним из собственных значений матрицы С, относящихся к в самом деле, в противном случае можно было бы выбрать постоянные так, чтобы обратить в нуль коэффициенты то есть вектор не принадлежащий к умножался бы на что противоречит предположению;

2° можно выбрать так, чтобы вектор принадлежал собственному значению

Положим

причем и принадлежит собственному значению у. Отсюда на основании (2) выводим

Если вектор не равен нулю, необходимо, чтобы вектор лежал в на основании предположения, сделанного относительно то же самое, впрочем, имеет место, если равен нулю. Так как принадлежит к то разность — как не трудно видеть, является линейной

комбинацией векторов, принадлежащих собственным значениям, отличным от так как принадлежит собственному значению то Наконец, тик как , то в можно найти такой вектор а, принадлежащий собственному значению у, что Полагая найдем основные соотношения

Вектор а дает последовательность векторов Ага, преобразующихся неприводимым образом, причем Посмотрим, как преобразуются векторы Вычисления, аналогичные предыдущим и опирающиеся на соотношения структуры (2), дают

Пусть — первый из векторов , который линейно зависит от предыдущих и от

применяя к обеим частям этого соотношения преобразование В, мы получим новое соотношение, в котором будет отсутствовать и которое, следовательно, должно удовлетворяться тождественно. Но в этом новом соотношении коэффициент при равен есть в этом же соотношении коэффициент при равен ) в левой части и нулю в правой. Таким образом, мы приходим к противоречию, то есть

нельзя предполагать, что пространство не совпадает с Е, откуда следует

Теорема. Каждое линейное представление группы вращений (аналитическое, если речь идет о группе комплексных вращений) вполне приводимо.

80. Матрица ...

В квантовой механике неприводимые представления группы вещественных вращений играют важную роль: каждое из них соответствует одному из состояний атома гелия; матрицы определяют составляющие

соответствующих кинетических моментов; квадрат кинетического момента дается матрицей

Покажем, что эта матрица является произведением единичной матрицы положительное число.

В самом деле, в любом представлении группы вращений матраца коммутирует с каждой из матриц например,

Если представление неприводимо, то отсюда вытекает (п. 32), что матрица равна произведению единичной матрицы на некоторое число. При преобразовании векторов пространства она умножает их на один и тот же множитель.

По/гагая, как мы уже делали это выше

получаем соотношение

Если мы возьмем неприводимое представление то получим для вектора а, соответствующего собственному значению у матрицы С, соотношения

откуда

и, следовательно,

Итак доказана

Теорема. В неприводимом представлении матрица равна

81. Примечания.

При помощи матрицы, аналогичной матрице , Н. Casimir и В. L. van der Waerden, а еще проще М. J. Н. С. Whitehead дали доказательство полной приводимости линейных представлений более общих групп, чем группа вращений, а именно, полупростых групп, которые содержат, в частности, группу вращений пространства любого числа измерений. До этого Н. Weyl’eM было дано трансцендентное доказательство этой теоремы; это доказательство применимо ко всем замкнутым, или компактным, группам и, значит, ко всем тем группам, которые из них выводятся при помощи перехода из вещественной области в комплексную (следует только отметить, что для этих последних речь идет об аналитических представлениях, но эта оговорка легко устранима).

Итак, мы доказали теорему о полной приводимости и нашли все неприводимые представления в случае группы вращений вещественного эвклидова пространства и группы собственных вращений вещественного псевдоэвклидова пространства. То же самое надо сказать о группе вращений эвклидова комплексного пространства, только ограничиваясь аналитическими линейными представлениями.