15. Мультивекторы.

Рассмотрим теперь систему векторов заданных в определенном порядке. Будем говорить, что они определяют -вектор: условимся считать два -вектора равными, если плоское -мерное многообразие, содержащее данные -векторы, одно и то же для обоих -векторов и если объем параллелепипеда, построенного на векторах каждой системы, один и тот же и с одинаковой ориентацией. Покажем, что -вектор однозначно определяется минорами порядка матрицы, составленной из контравариантных (или ковариантных) составляющих этих векторов.

В самом деле, пусть — переменный вектор; для того чтобы этот вектор лежал в -мерной плоскости, определяемой заданными векторами, необходимо и достаточно, чтобы миноры порядка матрицы

были равны нулю. Обозначая через минор, построенный из элементов первых строк и столбцов, мы получаем уравнения

Для того чтобы два -вектора с составляющими Р и лежали в одной и той же -плоскости, необходимо и достаточно, чтобы их составляющие были пропорциональны.

Предположим, что это условие выполнено: алгебраическое отношение двух -векторов сохраняется при проектировании; оно равно постоянному отношению их составляющих, которые дают объемы их проекций на различные координатные -плоскости.

Отметим, наконец, что квадрат V меры -вектора равен

где обозначают ковариантные составляющие (миноры, построенные из ковариантных составляющих -векторов). В самом деле

причем сумма распространяется на все сочетания из индексов по

Совокупность векторов может быть названа -вектором; она имеет только одну контравариантную и ковариантнуто составляющую. Каждая из этих составляющих меняет знак при отражении.