124. Пересечение двух изотропных v-плоскостей.

Рассуждения показывают, что в пространстве две изотропные -плоскости могут быть при помощи вращения или отражения приведены в положение -плоскостей, соответствующих спинору V, все составляющие которого, за исключением равны нулю, и спинору 4, имеющему единственную ненулевую составляющую эти две -плоскости имеют тогда пересечение измерений. Отметим, что полуспинор первого рода и что полуспинор также первого рода в том случае, если четно, и второго рода, если нечетно. Таким образом, имеем теорему:

Теорема. Пересечение двух изотропных у-плоскостей является -плоскостью, число измерений которой той же четности, что и если обе -плоскости одного рода, и разной четности, если обе -плоскости различного рода.

Две изотропные -плоскости одного рода имеют и только тогда пересечение измерений, причем одинаковой четности с V, если величины равны нулю, но величина не равна нулю; -вектор, определяемый последней величиной, изотропный и лежит в -плоскости, являющейся пересечением данных двух -плоскостей.

Две изотропные -плоскости разного рода тогда и только тогда имеют пресечение измерений, причем и равной четности, если величины

равны нулю, но величина отлична от нуля; -вектор, определяемый последней величиной, изотропный и лежит в -плоскости, являющейся пересечением двух данных -плоскостей.

Все эти результаты являются непосредственным следствием теоремы Как и в пространстве тождественное обращение в нуль величины одинаковой четности с или и разной четности влечет за собой тождествененное обращение в нуль аналогичных величин, у которых заменено на

Например, при две изотропные различные -плоскости одного рода имеют общую прямую; две изотропные -плоскости разного рода или не имеют ни одной общей прямой, или же имеют общую -плоскость: последний случай имеет место, если

где — составляющие полуспинора, соответствующего первой -плоскости, составляющие полуспинора, соответствующего второй -плоскости.

При две изотропные -плоскости различного рода имеют общую прямую или -плоскость; последний случай имеет место, если величина тождественно равна нулю, что дает восемь условий, из которых достаточно выписать два следующих:

составляющие - с четным числом индексов и составляющие с нечетным числом индексов являются соответственно составляющими полуспиноров, соответствующих двум данным изотропным -плоскостям. Составляющие каждого из этих полуспиноров удовлетворяют, конечно, соотношению, характеризующему простые полуспиноры, именно, соотношению (1) для первого полуспинора и соотношению (2) — для второго (п. 123).