9. Симметрии.

Будем называть симметрией относительно гиперплоскости П, проходящей через начало, преобразование, которое ставит в соответствие точке х ей симметричную относительно П, то есть точку получающуюся при помощи следующего построения: из х опускаем перпендикуляр на II и продолжаем его на расстояние, равное длине этого перпендикуляра. Пусть в некотором декартовом репере уравнение плоскости имеет вид

Вектор х определяется из следующих условий:

1° вектор ортогонален гиперплоскости П;

2° вектор лежит в гиперплоскости II.

Так как уравнение гиперплоскости выражает тот факт, что вектор х ортогонален к вектору с ковариантными составляющими то имеем

далее,

Преобравование возможно, если О, то есть если перпендикуляр к гиперплоскости не является изотропной прямой; в этом случае получаем

очень просто проверяется инвариантность длины;

Построенное выше преобразование мы будем называть симметрией; каждая симметрия задается гиперплоскостью или неизотропным вектором (который можно, в частности, считать единичным).

В случае вещественного пространства с неопределенной фундаментальной формой следует различать симметрии, определяемые вещественными пространственными векторами, и симметрии, относящиеся к вещественным временным векторам. Мы будем их называть соответственно пространственными и временными симметриями.

Каждая симметрия есть отражение. Достаточно показать это при каком-нибудь частном выборе декартова ортогонального репера, например, когда первый вектор базиса определяет симметрию; тогда уравнения симметрии имеют вид

определитель этого преобразования равен —1.