10. Разложение вращения на произведение симметрий.

Докажем следующую теорему, которая имеет место как в комплексной, так и в действительной области:

Каждое вращение является произведением четного числа симметрий; каждое отражение является произведением нечеткого числа симметрий.

То, что четное число симметрий дает вращение, а нечетное — отражение, вытекает непосредственно из того, что симметрия есть отражение.

Теорема очевидна для предположим, что она имеет место для пространств измерений, и докажем ее для пространства измерений.

Теорема очевидна в том частном случае, когда существует неизотропный вектор, инвариантный при рассматриваемом вращении; в самом деле, принимая этот вектор за вектор ], базиса и выбирая остальные векторов базиса в ортогональной гиперйлоскости II (она не содержит мы приведем фундаментальную форму к виду

где неособенная форма от переменных. Так как рассматриваемое вращение (или отражение) оставляет инвариантной гиперплоскость II, то оно определяется линейным преобразованием, не изменяющим координату и преобразующим между собой координаты так, что форма остается инвариантной; оно полностью определяется, таким образом, вращением или отражением в гиперплоскости II, т. е. в эвклидовом -мерном пространстве; согласно сделанному предположению оно образовано из симметрий, соответствующих векторам, лежащим в П, причем число этих симметрий не больше

Рассмотрим теперь общий случай; возьмем любой неизотропный вектор а; пусть — прёобразованный из него вектор.

Если вектор не изотропный, то симметрия, соответствующая ему, переводит а в а; рассматриваемое преобразование является, таким образом, произведением этой симметрии и другого преобразования, оставляющего инвариантным неизотропный вектор а; она разлагается, следовательно, на некоторое число симметрий.

Наше рассуждение неприменимо в том случае, если, каков бы ни был вектор х, вектор является изотропным — вектор, преобразованный из Исследуем этот случай.

Векторы образуют линейную совокупность, то есть если векторы принадлежат ей, то ей принадлежит и вектор Пусть число измерений этой совокупности, которую мы будем называть -плоскостью.

Возьмем в этой -плоскости векторов базиса плоскость, перпендикулярная этим векторам, определяется линейными независимыми уравнениями; число измерений ее равно причем она содержит в себе каждый векторов в этой плоскости можно за векторы базиса принять других независимых векторов К построенным векторам прибавим

новых векторов таким образом, чтобы получился базис для полного пространства.

Заметим, что, каковы бы ни были векторы

выражая равенство скалярных произведений , получаем

Выберем в качестве у какой-нибудь из векторов Правая часть равенства обращается в нуль; следовательно, вектор ортогонален любому вектору х. Это возможно только том случае, если вектор равен нулю. Отсюда вытекает, что векторы и инвариантны при рассматриваемой операции (вращении или отражении).

Образуем теперь фундаментальную форму пространства; обозначая через произвольный вектор, имеем:

Эта форма не выродившаяся, то есть коэффициенты при являются независимыми линейными формами от таким образом, можно выбрать векторы базиса так, чтобы

Затем можно добиться того, чтобы производные равные плюс линейная комбинация переменных были равны для эгого следует только изменить каждый вектор прибавленнем линейной комбинации векторол Получаем

причем вторая сумма в правой части определяет невыродившуюся форму. Так как инвариантны при рассматриваемом преобразовании (вращении или отражении), то мы приходим при частному случаю, когда существует инвариантный неизотропный вектор, и теорема, таким образом, доказана. Остается случай Имеем:

соотношения приводят нас, если выразить инвариантность скалярных произведений к равенству:

Можно еще упростить предыдущие формулы. В самом деле, результат преобразования произвольной линейной комбинации векторов выражается следующим образом:

Но сумма А остается инвариантной при любой замене базиса сопровождаемой коррелятивным преобразованием в базисе преобразуются одинаковым образом

Инвариантность и . С другой стороны, известно, что згжопеременпая билинейная форма путем применения одного и того же линейного преобразования к обоим рядам переменных может быть приведена к каноническому виду:

Таким образом, при соответствующем изменении базиса мы имеем следующие формулы преобразования:

Между прочим, должно быть обязательно равно так как в противном случае нензотропный вектор 4- был бы инвариантным. Каждое из -мерных пространств с невыродившейся фундаментальной формой, определяемых векторами инвариантно при рассматриваемом преобразовании. Таким образом, достаточно доказать, что это преобразование может быть выполнено в каждом из этих пространств при помощи не более 4 симметрий. Рассмотрим пгрвое пространство с фундаментальной формой Вращение (или отражение) выражается следующим образом;

так как определитель равен —1, то это есть вращение. Нетрудно видеть, что оно может быть получено в результате последовательного применения симметрий, соответствующих четырем неизотропным векторам

где а — коэффициент, отличный от 0 и 1. Теорема доказана.

В вещественных пространствах это доказательство вводит только вещественные векторы при условии, что а берется вещественным.