3. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов.

Теорема. Каждая квадратичная форма может быть приведена при помощи линейной подстановки к сумме квадратов.

Доказательство, которое мы применяем, приложимо как в действительной, так И в комплексной области. Предположим сначала, что один из коэффициентов неравен нулю, например Рассмотрим форму

она не содержит переменной полагая

имеем

где — квадратичная форма от переменных Предположим теперь, что все коэффициенты равны нулю, а один из остальных коэффициентов, иапример отличен от нуля. В этом случае рассмотрим форму

она не содержит переменных Полагая

получаем

где квадратичная форма от переменных применяем тот же процесс и в коице концов представим Ф. в виде суммы квадратов независимых линейных форм, причем каждый квадрат имеет определенный постоянный коэффициент. В вещественной области эти операции не вводят мнимых элементов.

Пусть

Если в комплексной области мы примем за новые переменные, то приведем Ф к сумме квадратов. В вещественной области мы должны учитывать знаки коэффициентов принимая , за новые переменные, приводим Ф к виду: