188. Случай v = 4. Фундаментальная трилинейная форма.

В случае полуспиноры каждого рода имеют 8 составляющих; в каждом роде существует квадратичный инвариант относительно группы вращений:

для полуспиноров первого рода и

для полуспиноров второго рода.

Мы имеем таким образом, три пространства 8 измерений: пространство векторов, пространство полуспиноров первого рода и пространство полуспиноров второго рода; кавдое из них имеет фундаментальную квадратичную форму, и в них мы имеем три группы, одинаковые в целом, но с соответствиями взаимно однозначными, так как каждому элементу в одной из них соответствует по два различных элемента в каждой из двух остальных (п. 136).

Если эти три группы применять одновременно к векторам и двум родам полуспиноров, то они образуют группу О, оставляющую инвариантной трилинейную форму.

и три квадратичные формы

Обратно, каждая линейная подстановка 24 переменных преобразующая между собой векторы и полуспиноры каждого рода и оставляющая инвариантной трилинейную форму не меняет каждую из форм , с точностью до постоянного множителя. Докажем это для формы из полученных ниже результатов будет вытекать доказательство для каждой из двух других форм . Инвариантность с точностью до множителя формы следует из характерного свойства изотропного вектора — обращать в выродившуюся билинейную форму от . В самом деле, эта форма является выродившейся в том случае, если можно определить такой полуспинор что линейная форма от тождественно равна нулю; необходимое и достаточное условие этого выражается соотношением или а это равенство имеет место для полуспинора отличного от нуля, тогда и только тогда, если или Предложение доказано.

Рассмотрим теперь линейную подстановку, оставляющую инвариантными формы ; она принадлежит группе О.

Для доказательства этого достаточно показать, что если она оставляет инвариантными все векторы, то она приводится или к или к Но если х инвариантны, то, коэффициенты при в форме также инвариантны. Например, преобразованная составляющая вследствие инвариантности коэффициентов при заклеит, с одной стороны, только от с другой стороны, только от то есть она есть кратное То же самое имеем для других составляющих. Но нетрудно видеть, что множители при этих составляющих одни и те же для всех составляющих и одинаковы также (обратны предыдущим) для составляющих Инвариантность показывает, что они все равны 1 или все равны — 1. Аналогичным рассуждением установим, что из инвариантности вытекает или или