IV. Произведение двух спиноров и его разложение на неприводимые части

Три одночлена образуют тензор, - эквивалентный вектору: в самом деле, они являются линейными независимыми комбинациями составляющих изотропного вектора, а изотропный вектор, рассматриваемый как тензор, эквивалентен вектору общего вида.

61. Матрица С.

Рассмотрим теперь тензор 4-го порядка — произведение двух спиноров Чтобы изучить его, введем матрицу

она имеет. следующее замечательное свойство: каков бы ни был вектор X,

кроме того,

Тождество (9) проверяется подстановкой выражения для матрицы (п. 65); имеем:

62. Тривектор и вектор, соответствующие двум спинорам.

Рассмотрим два спинора и и форму

при применении симметрии А эта форма на основании (6) и (9) преобразуется в

то есть, только изменяет свой знак. Она определяет, таким образом, тензор, эквивалентный тривектору, который инвариантен при вращении и меняет знак при отражении. Ее явное выражение следующее:

Эта величина, действительно, при применении линейного преобразования к обоим спинорам умножается на определитель подстановки, причем определитель преобразования равен —1, Рассмотрим теперь два спинора и произвольный вектор X и образуем форму

при применении симметрии А она преобразуется на основании (2), (6) и (9) следующем образом:

то есть она инвариантна при вращениях и отражениях. Но это — билинейная форма составляющих вектора X и произведений Отсюда следует (п. 27), что коэффициенты при определяют тензор; этот тензор эквивалентен вектору, так как сумма где — составляющие некоторого вектора, инвариантна также при каждом вращении и отражении, то есть рассматриваемый тензор эквивалентен тензору ул. Определенный таким образом вектор имеет составляющие, симметричные относительно составляющих спиноров так как

равенство двух первых выражений вытекает из того, что скаляр не меняется при транспонировании. Получаем следующие выражения для составляющих рассматриваемого вектора:

при получаем изотропный вектор, соответствующий спинору при отметим, что скалярный Квадрат вектора равен

Таким образом, мы получила разложение тензора порядка на вектор и тривектор, причем объем тривектора равен длине вектора.