II. Спинорные поля в римановой геометрии

176. Случай общего принципа относительности.

В предыдущих формулах ничего не надо изменять при условии, что мы будем относить каждой точке пространственно-временного континуума локальный галилеев репер, дающий фундаментальную

форму вида

а за формы будем принимать те, которые определяют аффинную связность пространственно-временного континуума.

В качестве примера рассмотрим фундаментальную форму Шварцшильда (изменив у нее знак); ей соответствуют формы

Единственные не равные нулю формы следующие:

Матрица имеет вид где — комплексно сопряженные матрицы, причем

где

получается из изменением всюду на

177. Случай любых декартовых реперов.

Выше мы предполагали, что риманово пространство отнесено к семейству реперов частного вида: необходимо, чтобы они были конгруэнтны между собой с метрической точки зрения. Этой точкой зрения пользовались некоторые из авторов, пытавшихся обобщить уравнения Дирака на общий принцип относительности.

Но для этих авторов спинор не является вполне определенным геометрическим объектом; В. Фок выводит закон преобразования спинора при вращении из закона преобразования вектора, определяемого этим спинором и его сопряженным, а это вводит некоторую неопределенность, которую он рассматривает как основу электромагнитного поля. Другие физики отказываются от употребления локальных галилеевых реперов и ищут обобщение уравнений Дирака, пользуясь классической техникой исследования в римановой геометрии, техникой, основанной на употреблении декартовых реперов, связанных с выбором координатной системы; эти реперы могут иметь произвольную форму с метрической точки зрения. Если с этой точки зрения мы будем продолжать рассматривать спинор как вполне определенный геометрический объект, имеющий природу тензора в наиболее общем смысле этого слова, мы убедимся, что обобщение уравнений Дирака становится невозможным.

Поставленный вопрос приводится к выяснению, — имеет ли спинор тензорный характер относительно группы всех линейных подстановок с переменными. В действительности вопрос носит несколько более общий характер, так как некоторые эвклидовы

тензоры определенного порядка не являющиеся в то же время аффинными тензорами, могут быть все же аналитически заданы относительно любого декартова репера при помощи составляющих аффинного тензора порядка более высокого, чем таким образом, что если их отнести к прямоугольному реперу, то этих составляющих обращается в нуль, а остальные составляющих являются составляющими рассматриваемого эвклидова тензора. Так, например, при полубивектор определяется составляющими ( четная перестановка) бивектора. Таким образом, надлежит исследовать, можно найти в аффинном пространстве с числом измерений или такой аффинный тензор с составляющими, чтобы при отнесении его к прямоугольному реперу этих составляющих обращались в нуль, а остальные преобразовывались как составляющие спинора при преобразовании прямоугольного репера. Мы покажем, что это невозможно.

В самом деле, мы можем рассматривать комплексную область, пользуясь при необходимости переходом от вещественного к комплексному. Фундаментальную форму возьмем в виде суммы квадратов:

Мы имели бы линейное представление группы всех линейных подстановок, которое нам дало бы, в частности, линейное представление группы

Это линейное представление было бы многозначным, так как при эвклидовом вращении

где вещественный угол изменяется непрерывно от 0 до спинор преобразовывался бы линейной подстановкой, которая переходит непрерывно из тождественной подстановки в подстановку Мы имели бы многозначное линейное

представление группы (17), что невозможно, как мы видели в п. 85.

Ничего не меняя в доказательстве, можно было бы взять вместо группы (17) унитарную унимодулярную группу с переменными относительно которой мы доказали при помощи топологических соображений (п. 85) невозможность существования многозначных линейных представлений.

Мы приходим, таким образом, к следующей основной теореме:

Теорема. Если спинор имеет тот геометрический смысл, который мы ему дали, то невозможно ввести спинорные поля в классическую технику исследования в римановой геометрии; то есть при произвольном выборе системы координат пространства невозможно определить спинор при помощи конечного числа составляющих на таким образом, чтобы и, допускали ковариантные производные вида

где являются определенными функциями от