III. Линейные представления группы комплексных вращений

82. Постановка проблемы.

Остается определить все линейные непрерывные представления группы комплексных вращений.

Мы знаем (п. 74), что если обозначить через три комплексных параметра вращения и положить

то элементы матриц, определяющих представление, являются аналитическими функциями 6 вещественных параметров Переходя из вещественной области в комплексную, мы получим линейную группу, у которой коэффициенты определяются аналитическими функциями 6 комплексных параметров или 6 комплексных параметров то есть 6 комплексных параметров , где через обозначены выражения причем эти 6 параметров независимы.

Ясно, что эта группа дает представление группы получающейся при рассмотрении вращений с параметрами и вращений с параметрами . Эта группа является так называемым прямым произведением группы О вращений и группы вращений ; каждый элемент группы является совокупностью вращения опре деляемого параметрами , и вращения соответствующего параметрам , причем произведением двух элементов группы является элемент Эта группа содержит подгруппу элементов в которых является тождественным вращением, и группу О элементов в которых есть тождественное вращение; элементы групп и конечно, перестановочны между собой, и каждый элемент группы одним и только одним способом выражается как произведение элемента группы О и элемента группы называют прямым произведением и обозначают следующим образом:

Таким образом, мы пришли к следующей проблеме:

Проблема. Даны две группы и их прямое произведение зная все линейные аналитические представления каждой из групп и построить все аналитические представления группы

Напомним, что представление является аналитическим, если элементы соответствующих матриц суть аналитические функции комплексных параметров группы.

В рассматриваемом случае мы знаем все аналитические представления групп (являющиеся, между поочим, одинаковыми, но у которых параметры рассматриваются как различные).