134. Применение к группе вращеяиб для v нечетного.

В случае нечетного, величина построенная на двух полуспинорах разного рода, инвариантна при каждом вращении.

Эта величина равна

причем сумма распространяется на все четные комбинации индексов принимает все целые четные значения. В матрице, соответствующей вектору, мы располагаем

составные индексы с четным числом индексов в каком-нибудь определенном порядке и затем остальные индексы в соответствующем порядке, так, чтобы составному индексу соответствовал составной индекс Если мы обозначим тогда 2-1 составляющих полуспинора через а соответствующие составляющие полуспинора через увидим, что каждое вращение оставляет инвариантной сумму Таким образом, если через мы обозначим матрицу порядка , определяющую преобразование при вращении, матрица определит преобразование величин так что матрица порядка соответствующая этому вращению, будет иметь вид

Она преобразует вектор X в

откуда, в частности,

Приходим к следующему замечательному результату:

Теорема. В пространстве (v нечетное) каждое вращение, примененное. к вектору, преобразует, матрицу порядка соответствующую этому вектору, следующим образом:

В частности, становясь на другую точку зрения, мы видим, что, зная эффект применения вращения к полуспинору первого рода, мы знаем вполне эффект применения этого вращения к полуспинору второго рода.