III. Представление симметрий и вращений
58. Представление симметрий.
Пусть а — единичный вектор; 
вектор 
симметричный вектору х относительно плоскости II, перпендикулярной к а и проведенной через начало, определяется соотношением (п. 9):
или, переходя к соответствующим матрицам и замечая, что 
имеем:
Отсюда вытекает, что симметрия для бивектора, определенного двумя взаимно перпендикулярным» векторами X, К, определяется следующим образом:
откуда для матрицы 
соответствующей бивектору, имеем
Наконец, при применении симметрии к матрице, соответствующей тривектору, последняя только меняет знак.
59. Представление вращения.
Так как каждое вращение является произведением двух симметрий 
то результат применения вращения к вектору X и бивектору 0 выражается формулами
или
где
Из формулы (3) можно вывести формулу Эйлера-Олинда-Род-рига. Пусть 
— единичный вектор, определяющий направление оси вращения, 
— угол поворота; скалярное произведение единичных векторов 
равно 
их векторное произведение, 
, равно 
. Отсюда имеем
то
Если обозначить через 
направляющие косинусы вектора 
то параметры Эйлера-Олинда-Родрига определяются
следующими 4 формулами:
сумма квадратов этих величин равна 1.
