141. Формула Бриоски.

Можно поставить в связь с предыдущим исследованием формулу Брноски, выражающую произведение двух сумм восьми квадратов в виде суммы восьми

квадратов. Пусть X вектор, полуспинор; произведение определяет полуспинор Имеем

откуда получаем следующий результат: скалярный квадрат полуспинора равен произведению скалярного квадрата вектора X на скалярный квадрат полуспинора Заметим, что составляющие полуспинора являются билинейными формами составляющих X и составляющих . В развернутом виде формула дает:

Если мы предположим, что являются комплексно сопряженными с комплексно сопряженными с то в четырех произведениях правой части оба множителя будут комплексно сопряженными. Мы получаем, таким образом, формулу Бриоски в вещественной области; произведение двух сумм восьми квадратов является суммой восьми квадратов. Полагая

Получаем формулу

где

причем индексы берутся по модулю .

Если применить формулу Бриоски к двум единичным векторам X и К, то она дает отображение на сферическое пространство измерений топологического произведения двух сферических пространств 7 измерений.

Добавим еще одно замечание. Рассмотрим -мерное эвклидово пространство, полагая Вектор с составляющими соответствует бивектору, построенному на двух единичных взаимно перпендикулярных векторах X и Y; он перпендикулярен к этому бивектору, что нетрудно проверить вычислением. Три вектора, определяют -плоскость, в которой каждый вектор соответствует -плоскости, ему перпендикулярной. Через -плоскость проходит одна и только одна такая -плоскость.