IV. Матрицы

37. Определение.

Каждое линейное преобразование над переменными

может быть определено при помощи матрицы — квадратной таблицы с строками и колоннами, составленной из коэффициентов преобразования. Эту матрицу мы будем обозначать также буквой Если над преобразованными переменными выполнить новую подстановку

то результирующая подстановка определяется формулами

Отсюда выводим закон умножения матрии: элементы матрицы имеют вид:

В общем случае можно рассматривать прямоугольные (не квадратные) матрицы и определить предыдущими формулами произведение при условии, что число столбцов матрицы равно числу строк матрицы В частности, обозначив через х матрицу с строками и 1 колонной, элементами которой являются через аналогичную матрицу, получающуюся при преобразовании имеем

38. Сложение, умножение на число.

Суммой двух матриц и имеющих одинаковое число строк и столбцов, называется матрица, элементы которой получаются сложением соответствующих элементов матриц и

Произведением матрицы на число называется матрица, получающаяся при умножении всех элементов матрицы на .

39. Замечание к вычислению произведения матриц.

Необходимо сделать одно замечание к вычислению произведения двух линейных преобразований. Если пытаться получить соответствующее преобразованию подставляя в уравнениях соответствующих преобразованию вместо результат применения то есть то получится неправильный результат

вместо

Для того чтобы применить указанный процесс вычисления, следует и поменять местами, применяя сначала затем . То же следует заметить о произведении нескольких преобразований.

40. Матрицы транспонированные и обратные.

Транспонированной матрицей от матрицы называется матрица, получающаяся из заменой строк столбцами. Таким образом, матрица х имеет одну строку и столбцов, составленных из элементов

Из равенства получаем при переходе к транспонированным матрицам следующее соотношение:

в частности, формула дает

Матрицей обратной данной квадратной матрице определитель которой не равен нулю, называется матрица, соответствующая линейному преобразованию, обратному 5. Имеем

где через 1 мы будем обозначать (в тех случаях, когда не может возникнуть недоразумения) Матрицу, диагональные элемента которой равны единице, а все остальные нулю. Имеем при любом выборе матрицы 5

Будем называть диагональной такую матрицу, элементы которой., стоящие на главной диагонали, равны нулю.

41. Подобные матрицы.

Мы видели (п. п. 20, 22), что при замене переменных в линейной подстановке новыми переменными, связанными со старым линейным преобразованием , получается подстановка Будем говорить, что матрицы подобны и что вторая преобразована из первой при помощи матрицы А.

Подобные матрицы имеют равные детерминанты. Матрица, преобразованная из при помощи , равна произведению матриц, преобразованных из это вытекает из равенства:

Диалогично матрица, обратная преобразованной, равна преобразованной обратной, так как