86. Линейные представления вещественной проективной группы одной переменной.

Можно показать, что пространство унимодулярных комплексных матриц также односвязно; это объясняет невозможность существования многозначных представлений унимодулярной комплексной группы. Но пространство вещественных унимодуляриых матриц уже не является односвязным, — с точки зрения топологии оно гомеоморфно внутренности тора; такам образом, для этой, группы нельзя дать топологического доказательства несуществования многозначных линейных представлений. Заметим, между прочим, что линейные представления этой группы являются также линейными представлениями группы проективных преобразований одной вещественной переменной

элементу этой группы соответствуют две вещественных линейных унимодулярных подстановки двух переменных. Проективная группа допускает, таким образом, линейные представления однозначные и двузначные, но не допускает многозначных представлений порядка выше второго.

Отсюда можно вывести существование групп, которые не имеют ни одного точного линейного представления, то-есть такого, чтобы существовало взаимно однозначное соответствие между элементами группы и матрицами представления. Рассмотрим уравнение

Это уравнение для х имеет бесконечное множество решений, выберем одно из аначений и будем его непрерывно изменять, когда х изменяется от 0 до или от О до Так как

мы видим, что заключается между определенными положительными числами; следовательно, когда х меняется от 0 до

возрастает от до а при изменении х от 0 до убывает от до Мы определяем, таким образом, преобразование на вещественной прямой. Совокупность этих преобразований образует, очевидно, группу, и эта группа непрерывна. Для доказательства последнего свойства достаточно показать, что можно непрерывным образом перейти от преобразования с параметрами соответствующего некоторому значению , к преобразованию с теми же параметрами, соответствующему другому значению например, отличающегося от первого на или .

Для этого мы будем рассматривать как однородные координаты точки в трехмерном пространстве; каждому проективному преобразованию соответствует точка, лежащая в положительной облает пространства, ограниченной линейчатой поверхностью порядка Проведем через рассматриваемую точку прямую, не пересекающую поверхности, и возьмем на этой прямой некоторую точку рассмотрим проективное преобразование, определяемое параметрами причем параметр X изменяется непрерывно от 0 до и затем от до 0; изменяя непрерывно значение начиная от выбранного исходного значения, мы придем или к тому же значению, увеличенному на или к тому же значению, увеличенному на (это зависит от выбора направления изменения ). Таким образом, в семействе рассматриваемых преобразований переменной х мы найдем непрерывную последовательность преобразований, в которой начальное и конечное преобразования соответствуют данным параметрам но с величинами для , отличающимися на . Что и требовалось доказать.

Определенная таким образом непрерывная группа преобразований переменной обладает тем свойством, что преобразованию над проективной группы соответствует бесконечное множество преобразований переменкой х. Такая группа не

может, следовательно, допускать точного линейного представления. Ее многообразие односвязно. Этот результат тем более примечателен, что согласно теореме Вейля и Петера каждая замкнутая (компактная) группа имеет всегда точное линейное представление.

Мы получим другие группы, накрывающие конечное число раз проективную группу и не допускающие точного линейного представления, если возьмем, например, уравнение

рассматривая его как уравнение, выражающее виде функции от Это уравнение порядка и имеет решений, из которых каждое дает преобразование на проективной вещественной прямой принимает все значения, включая и Все эти преобразования образуют непрерывную группу, накрывающую раз проективную группу одной переменной. Она допускает точное линейное представление только при