100. Неприводимость спинора.

Покажем, что, при применении к любой линейной комбинации составляющих спинора достаточного числа вращений, мы получим линейно независимых комбинаций. Мы рассмотрим простые вращения

на угол являющиеся произведениями двух симметрий, соответствующих двум единичным взаимно перпендикулярным векторам, а также произведения двух таких вращений; будем пользоваться, в частности, матрицами

и

или, что приводится к тому же,

Рассмотрим теперь линейную комбинацию и предположим для определенности, что коэффициент при не равен нулю. Применяя преобразование мы не изменим в рассматриваемой форме коэффициентов при , которые содержат индекс 1; остальные коэффициенты изменят знак. При помощи сложения получаем новую линейную комбинацию, в которую входят только содержащие индекс 1. Поступая также относительно индексов мы получим новую комбинацию; в нее входят те которые содержат одновременно все индексы Применяя теперь матрицы — мы исключим при помощи вычитания все содержащие один из индексов . В результате видим, что из данной линейной комбинации мы можем выделить каждый не равный нулю член этой комбинации. Применение матрицы выводит из составляющую следовательно, можно выделить все с индексами. Матрица позволяет вывести отсюда все составляющие с индексами. Матрица — все составляющие с индексами. Аналогичные операции дадут нам в конце концов все с четным или же нечетным числом индексов. До сих пор мы не пользовались матрицей Матрицы позволяют перейти от с четным числом индексов к с нечетным числом и обратно. Это доказывает неприводимость спинора относительно группы вращений, а следовательно, и относительно группы вращений и отражений. Между прочим, неприводимость относительно этой последней группы может быть доказана, как нетрудно видеть, без применения матрицы