120. Матрицы порядка 2^v разложенные на суммы p-векторов.

Элементы матрицы X, соответствующей -вектору, являются линейными комбинациями составляющих этого -вектора; ясно, что они не равны все тождественно нулю. Отсюда следует, что среди них имеется независимых, так как -вектор неприводим относительно группы вращений и отражений, а элементы матрицы X преобразуются линейно между собой каждым элементом этой группы. Следовательно, матрицы, соответствующие двум различным -векторам, различны. Как и а п. 98, мы докажем, что из матрицы порядка можно выделить скаляр, вектор, -вектор, то есть тензоры неприводимые и неэквивалентные между собой относительно группы вращений и отражений. Так как ни один из этих неприводимых тензоров не равен тождественно кулю и сумма их порядков равна

то есть числу элементов рассматриваемой матрицы, то имеем теорему:

Теорема. Каждая матрица порядка может быть представлена одним и только одним способом в виде суммы скаляра, вектора, бивектора, -вектора в пространстве измерений.

Мы получаем, таким образом, в другой интерпретации, систему гиперкомплексных чисел Клиффорда-Липшитца.

Интересно отметить структуру матрицы, соответствующей я-вектору пространства она тождественна с матрицей, соответствующей в пространстве вектору, перпендикулярному пространству то есть имеет вид частности, симметрия относительно начала определяется матрицей и матрицей

Структура матриц X. При вращении элементы каждой из матриц Е, Н, входящих в состав матрицы - преобразуются линейной подстановкой. Если то -вектор неприводим относительно группы вращений; следовательно, элементы каждой из матриц являются линейно независимыми комбинациями от составляющих -вектора, соответствующего матрице X.

Это рассуждение неприменимо, если так как -вектор разлагается относительно группы вращений на два неприводимых неэквивалентных тензора, являющихся полу-у-векторами (п. 49), то элементы одной из матриц выражаются или независимыми линейными комбинациями от составляющих -вектора, или же линейными комбинациями от у составляющих одного из полу-у-векторов, на которые разлагается данный -вектор. Чтобы доказать, что имеет место последнее, достаточно доказать существование -вектора, для которого матрица Н тождественно равна нулю, и -вектора, для которого матрица

тождественно равна нулю, -вектор , например, определяется матрицей, которая при применении к спинору обращает в нуль все составляющие кроме преобразуемой в следовательно, матрица имеет только одну строку, по номеру нулевую, не состоящую исключительно из нулей, то есть тождественно равна нулю; рассматриваемый -вектор, являющийся изотропным, разлагается, таким образом, на два полу-у-вектора, из которых один тождественно равен нулю. Точно также матрица обращает в нуль все составляющие спинора, за исключением которая преобразуется в единственная строка этой матрицы, не состоящая исключительно из нулей, имеет номер так что составляющая этой матрицы тождественно равна нулю.

Так как каждый изотропный -вектор при помощи вращения можно превратить в один из рассмотренных -векторов, умноженный на некоторое число, то матрицы, соответствующие изотропным -векторам первого рода, имеют составляющую Н, тождественно равную нулю, а у матриц, соответствующих изотропным -вектораы второго рода, составляющая а тождественно равна нулю; эти -векторы, таким образом, в Действительности являются полу-у-векторами частного вида.

Итак, каждому -вектору можно отнести двумя различными способами матрицу порядка (Е и Н), каждому полу-у-вектору можно отнести вполне определенную матрицу порядка для полу-у-векторов первого рода, Н — для полу-у-векторов второго рода).