V. Случай вещественного эвклидова пространства

Рассмотрим группу вещественных вращений и отражений. Мы не будем менять выбранного выражения для фундаментальной формы; достаточно предполагать координату вещественной, а комплексно сопряженными. Каждое вращение и в рассматриваемом случае есть произведение четного числа симметрий, соответствующих вещественным единичным векторам А; каждое отражение есть произведение нечетного числа таких симметрий.

112. Сопряженные векторы и p-векторы.

Из векторов базиса первый вещественный, остальные попарно комплексно сопряженные. Отметим, что соответствующие матрицы обладают тем свойством, что две матрицы, соответствующие комплексно сопряженным векторам, являются взаимно транспонированными. Следовательно, рассматривая матрицы двух

комплексно сопряженных векторов, будем иметь

откуда

В частности, матрица вещественного вектора является эрмитовой

Переходя от векторов к -векторам, получим, что -вектор, сопряженный с X, есть . Таким образом, вещественный -вектор имеет эрмитову матрицу, если или и эрмитову антисимметрическую, если или

113. Сопряженные спиноры.

Важно установить, когда два спинора должны быть рассматриваемы как сопряженные. Если эти спиноры простые, необходимо, чтобы они соответствовали двум изотропным комплексно сопряженным -плоскостям. Но если — Простой спинор, -вектор изотропной -плоскрсти, которую этот спинор определяет, то имеем соотношение Пусть I — один из простых спиноров, определяющих сопряженную -плоскость, — вектор, сопряженный с X; имеем

откуда на основании формулы

так то естественно положить то есть

Чтофы оправдать эту формулу и уточнить значение рассмотрим изотропный у-вектор, соответствующий он дается

выражением

заменим в этой формуле -вектор X его сопряженным и через с; мы должны получить выражение, комплексно сопряженное первому.

Имеем

учитывая, что второй член равен своему транспонированному, и принимая во внимание соотношения (14), (15) (п. 101), получаем

то

Таким образом, приходим к следующему соглашению:

Спинор, сопряженный с есть

Отметим, что спинор, сопряженный с сопряженным от является спинором . Переход от спинора к его сопряженному определяет в пространстве спиноров антиинволюцию, эта антиинволюция первого рода, если или — она — второго рода, если или В первом случае в пространстве спиноров существует область вещественности, образованная спинорами, равными своим сопряженным. При вещественные спиноры — те, для которых что дает уравнения

114. Тензор ...

Спинор, сопряженный с данным, при отражении не преобразуется вполне как спинор. В самом деле,

при вещественной симметрии А, преобразующей сопряженный спинор преобразуется в

Если четкое, преобразуется вполне как спинор; но при нечетном мы имеем преобразование по закону спинора только при вращении, но не при отражении.

Мы получим разложение тензора исходя из -векторов, определяемых разложением тензора в котором заменяем на спинор, сопряженный с Рассмотрим, таким образом, выражение

При вещественной симметрии А это выражение умножается на (второй множитель получается потому, что спинор, сопряженный с преобразуется как спинор только в том случае, если четное). Следовательно, рассматриваемое выражениедает, -вектор или -вектор в зависимости от четности или нечетности

Тензор разлагается, таким образом, на неприводимых тензоров, которые являются -векторами.

В частности, для имеем скаляр (пренебрегаем постоянным множителем

Важно отметить, что полученные таким образом -век-торы все вещественны.

Достаточно показать, что если - вектор X вещественный, то выражение вещественно или чисто мнимо, так как тогда составляющие -вектора или -вектора будут, с точностью до множителя, вещественными величинами. Но величина

комплексно сопряженная с равна

Что и требовалось доказать.

Таким образом, чтобы иметь вещественные составляющие мультивектора, определенного двумя сопряженными спинорами, достаточно исходить из выражения

115. Пример При тензор разлагается на три неприводимых тензора:

1° скаляр

2° -вектор, определяемый формой

его контравариантные составляющие суть

3° Бивектор, определяемый формой его 10 ковариантных составляющих определяются формулами:

Мера -вектора и бивектора с точностью до множителя равна