88. Случай неприводимых представлений, индуцирующих в группе вращений неприводимое представление.

Сначала мы рассмотрим некоторое неприводимое представление группы дающее для О также неприводимое представление, и покажем, что существует еще одно и только одно представление не эквивалентное первому и дающее для О то же самое линейное представление. Обозначим через Т матрицу, соответствующую элементу семейства О; с другой стороны, пусть — бесконечно малое преобразование из и соответствующая матрица; элементу группы соответствует тогда матрица Если существует другое представление, относящее элементу матрицу Т, то бесконечно малому преобразованию будет соответствовать матрица таким образом, какова бы ни была матрица рассматриваемого представления Группы О, имеет место соотношение

или

Так как матрица перестановочна со всеми матрицами неприводимого представления, то она является скаляром то есть

Коэффициент не зависит от это вытекает из того, что каждый другой элемент из имеет вид где принадлежит к Рассматривая элемент принадлежащий выводим, что Если вместо матрицы Т взять —Т, то получим новое линейное представление группы

Эти оба представления не эквивалентны, так как в противном случае существовала бы такая постоянная матрица С, что

первое соотношение показывает, что С является скаляром, а это противоречит второму.

Теорема. Если, дано линейное неприводимое представление группы О, то или не существует представления группы. индуцирующего данное представление группы О, или существует два неэквивалентных таких представления.

89. Противоположный случай.

Рассмотрим теперь неприводимое представление группы индуцирующее приводимое представление группы О. Обозначим через составляющие неприводимой части последнего представления. Пусть — элемент из О; предположим, что преобразует соответственно линейных комбинаций переменных представление, эти комбинации обозначим через (если группа многозначна, мы будем рассматривать одну из линейных подстановок, соответствующих Пусть — бесконечно малое преобразование из группы О; положим откуда Если мы применим к переменной элемент мы получим где через обозначены элементы матрицы преобразующей переменные другой стороны, применяя к элемент мы получаем результат применения матрица к следовательно:

Если преобразует переменные то преобразует

Таким образом, мы видим, что величины дают линейное представление группы О, очевидно, неприводимое. Если изменять непрерывным образом в то переменные будут преобразовываться в линейные комбинации от Так как элемент обратный принадлежит к О, то все элементы из О преобразуют в линейные комбинации от

Возможны два случая:

А. Линейные представления группы определяемые соответственно переменными эквивалентны. В этом случае, выполняя предварительно подстановку над переменными мы можем предполагать, что преобразуются каждым элементом группы так же, как и Пусть — уравнения линейной подстановки, соответствующей элементу из О, и пусть — матрица, применяемая как к переменным так и к у, соответствующая бесконечно малому

преобразованию Матрица, соответствующая равна если она применяется к если она применяется, к у, таким образом,

откуда Но тогда переменные преобразуются между собой элементами из О, так как

и аналогично

Во всяком случае существуют линейные тождественные соотношения между так как в противном случае рассматриваемое представление группы не было бы неприводимо. Так как два неприводимых представления группы соответствующих матрицам не эквивалентны, то это возможно только в том случае, если равны нулю или все переменные или все переменные . В том и другом случае, в противоречии с предположением, рассматриваемое представление группы индуцирует неприводимое пред, ставлеиие группы О.

В. Линейные представления группы определяемые соответственно переменными х, и у, не эквивалентны. Этот Случай, таким образом, — единственно возможный. Переменный линейно независимы, так как в противном случае все переменные и все переменные были бы равны нулю, что невозможно. Они составляют все переменные рассматриваемого представления группы Мы покажем, что все неприводимые представления группы которые индуцируют в два данных неприводимых неэквивалентных представления, эквивалентны между собой. В самом деле, пусть в первом представлении группы

— линейная подстановка (или одна из линейных подстановок), соответствующая элементу из и пусть

— соответствующая подстановка во втором представлении. Если — матрица, оперирующая над переменными и

соответствующая бесконечно малому преобразованию 5 из группы то имеем:

имеем также причем коэффициенты являются постоянными. Рассматривая обратное преобразование, выводим Но тогда в уравнениях

достаточно заменить на на чтобы получить уравнения первого представления, что и доказывает утверждение.

Теорема. Если существует неприводимое представление группы индуцирующее в группе проводимое представление, то это последнее разлагается на два неприводимых неэквивалентных представления одного и того же порядка, и всякое другое неприводимое представление группы индуцирующее в О эквивалентное приводимое представление, эквивалентно первому.

Из приведенного выше исследования вытекает, что каждый элемент из преобразует определенный неприводимый тензор группы в другой неприводимый тензор, вполне определенный. Если этот второй тензор эквивалентен первому, то любой из них дает составляющие одного или, вернее, двух неприводимых неэквивалентных тензоров группы Если данный тензор и преобразованный не эквивалентны, то совокупность составляющих этих двух тензоров дает неприводимый тензор, и только один, группы