V. Случай вещественного эвклидова пространства

Полученные выше результаты применяются к области ком» плексных вращений и отражений. Теперь мы рассмотрим эвклидово пространство с вещественными вращениями и отражениями.

63. Сопряженные комплексные векторы.

Матрицы X и Y, соответствующие двум комплексно сопряженным векторам

удовлетворяют соотношению

в частности, если вектор вещественный, то откуда вытекает

Теорема I. Матрица, соответствующая вещественному вектору, эрмитова.

Так как матрица соответствующая вещественному бивектору, равна матрице, соответствующей вещественному вектору, умноженной на то она не эрмитова; имеет место соотношение

Каждое вращение определяется матрицей произведением матриц, соответствующих двум вещественным единичным векторам; следовательно,

откуда

Теорема II. Каждое вращение определяется унитарной унимодулярной матрицей, каждое отражение — унитарной матрицей с определителем, равным — 1.