140. Параллелизм в пространстве E2.
Единичному бивектору, определенному двумя единичными взаимно перпендикулярными векторами А, А, можно отнести в эвклидовом пространстве полуспиноров данного рода, обладающем фундаментальной формой Ф или 
паратактическую конгруэнцию единичных биполуспиноров 
в этой конгруэнции существует один и только один биполуспинор, у которого первый полуспинор 
задан. Единичным полуспинором мы называем такой, который дает фундаментальной форме Ф численное значение, равное единице.
Заметим прежде всего, что матрица 
в которой ни один из множителей не равен нулю, может быть равна нулю только в том случае, если вектор X изотропный и полуспинор 
также изотропный (длины 0). Первое условие уже было доказано выше; предположим, что X приведен к вектору 
из равенства 
вытекает тогда равенство нулю всех составляющих содержащих индекс 1, и, следовательно, равенство нулю выражения 
то есть фундаментальной фомы 
.
Пусть у — единичный полуспинор. Определим такой полуспинор 
чтобы
или
Первое уравнение дает 
подставляя во второе, получаем тождество, так как 
Сделанное выше
замечание показывает тогда, что и 
являются изотропными полуспинорами, то есть 
— единичный полуспинор, перпендикулярный к 
Если воспользоваться языком проективной геометрии, то три пространства векторов и полуспиноров можно трактовать как семмерные пространства; прямая 
первого пространства определяет в каждом из двух других паратактическую конгруэнцию прямых, обладающих тем свойством, что через каждую точку, не расположенную на фундаментальной квадрике, проходит одна и только одна прямая.
Зададим теперь единичный вектор 
; он позволит нам определить в пространстве полуспиноров 
эквиполлентность биполуспиноров. В самом деле, возьмем некоторый единичный биполуспинор 
равенства
в которых 
являются заданными, дают определенное решение для 
: это зависит от симметричной роли векторов и полуспиноров. Будем говорить, что два единичные биполуспинора 
эквиполлентны, если для каждого из них можно найти один и тот же вектор Л. Употребляя теперь язык проективной геометрии, мы можем сказать, что задание точки в одном из. трех пространств (не лежащей на фундаментальной квадрике) определяет в каждом из остальных пространств параллелизм прямых (не лежащих на фундаментальной квадрике и не касающихся ее), при котором через данную точку проходит одна и только одна прямая, параллельная данной, и. две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
