III. Фундаментальная полярность в пространстве спиноров, p-векторы, определяемые парой спиноров

101. Матрица С.

Рассмотрим преобразование, определяемое матрицей

Преобразование переводит составляющую в преобразование переводит эту последнюю в наконец, применение дает а последующие преобразования дают Если бы мы исходили из то в результате применения С получили бы

причем перестановка предполагается четной. Таким образом, единственными элементами матрицы С, отличными от нуля, являются элементы

где четная перестановка.

Если при строки и столбцы расположить в следующем порядке:

то матрица С имеет вид

Основное свойство матрицы С следующее:

Теорема. При любом выборе вектора X

Достаточно проверить это соотношение для векторов базиса . Замечая, что антикоммутирует с имеем

затем

так как то формула доказана.

Если бы вместо вектора X мы взяли -вектор X, то получили бы

В самом деле, всегда можно предположить, что

где суть взаимно перпендикулярных векторов; имеем

что и требовалось докавать.

Отметим, наконец, следующие два свойства:

первое вытекает из того, что

так скалярное произведение векторов равно

Второе следует из того, что С соответствует -вектору, образованному из взаимно перпендикулярных векторов, причем квадратный скаляр каждого равен — 1; поэтому равно

102. Фундаментальная полярность.

Рассмотрим два спинора и скаляр

где через обозначена матрица с 1 строкой и столбцами, через — матрица с строками и 1 столбцом. Эта величина не меняется по абсолютному значению, если к применить одно и то же вращение; в самом деле, она преобразуется в

но на основании (13) имеем:

откуда

таким образом, рассматриваемая форма при преобразовании только умножается на Если четное, имеем инвариант при вращении и отражении; если нечетное, эта величина меняет знак при отражении. В последнем случае она дает тензор, эквивалентный -вектору.

Соотношение

билинейное относительно составляющих двух спиноров, определяет в пространстве спиноров полярность в том смысле, что соотношение симметрично относительно обоих спиноров.

В самом деле, так как левая часть является скаляром, то она не меняется при операции транспонирования; поэтому

то есть рассматриваемое соотношение действительно симметрично относительно обоих спиноров.

Полученная таким образом фундаментальная полярность — первого рода (полярность относительно квадрики), если в этом случае она получается из квадратичной формы Если то мы имеем полярность второго рода (полярность относительно линейного комплекса); она определяется внешней формой

При имеем

при

при

наконец, при

В дальнейшем мы увидим, что в пространстве спиноров фундаментальная полярность является единственной полярно стью, инвариантной при группе вращений.

103. Приведение тензора

Мы показали, что билинейная форма определяет тензор с одной составляющей относительно группы вращений и отражений; этот тензор является скаляром, если четное; он эквивалентен -вектору, если нечетное. Рассмотрим теперь тензор являющийся произведением двух спиноров. Этот тензор имеет составляющих. Он является приводимым; мы покажем, что он вполне приводим, и разложим его на неприводимые части.

Образуем для этого форму

где X — некоторый неопределенный вектор . Применяя симметрию А одновременно к спинорам и -вектору X, мы преобразуем эту форму, учитывая соотношения (7), (8), (14), в следующую:

таким образом, при этом преобразовании она умножается на Она дает, следовательно, скаляр, если четно, и тензор, эквивалентный - вектору, если нечетно.

В первом случае эта форма, если ее расположить по контравариантным составляющим -вектора X, имеет вид

причем являются билинейными формами от . Согласно основной теореме образуют эквивалентный вектору тензор, у которого в являются ковариантными составляющими.

Во втором случае коэффициенты при являются составляющими вектора.

Отметим, что в первом случае а во втором одинаковой четности с

Из изложенного вытекает, что из тензора можно выделить неприводимых тензоров. Полное число составляющих

этих тензоров равно (полагаем последовательно

оно равно, таким образом, числу составляющих тензора С другой стороны, на основании общей теоремы мы знаем, что совокупность тождественных линейных соотношений между составляющими неприводимых тензоров должна обращать тождественно в нуль все составляющие по крайней мере одного из этих тензоров; но между тем ни один из найденных. тензоров не равен тождественно нулю, так как величина не может быть равна нулю при произвольном выборе спиноров и -вектора X.

Из приведенных рассуждений следует, что составляющих нолученных неприводимых тензоров линейно независимы», а потому тензору может быть разложен на неприводимых частей. Эти различные неприводимые тензоры мы обо значим через

104. Неприводимые симметрические и антисимметрические части тензора

Ясно, что каждый неприводимый тензор, составляющие которого суть билинейные формы от и является или симметрическим или антисимметрическим. Чтобы исследовать, какой мы имеем случай, поступаем, как и выше Принимая во внимание формулу (14), имеем

но

Следовательно, если или тензор симметрический; если или он антисимметрический.

Таким образом, симметрические тензоры эквивалентны -векторам, если антисимметршеские тензоры эквивалентны - векторам, если

Симметрические тензоры эквив лентны тем, которые получаются при подстановке они дают разложение тензора с составляющими. Между прочим, нетрудно проверить, что сумма коэффициентов бинома, у которых верхний индекс равен у плюс или минус кратное 4, равна .

105. v-вектор, соответствующий спинору.

Один из этих тензоров очень важен; это тензор Он эквивалентен у-вектору. Мы подсчитаем его составляющие для

Для этого надо рассмотреть выражение для ковариантных составляющих бивектора имеем

В начале этой главы мы видели, что при каждый спинор позволяет определить, по крайней мере, если изотропное образующее многообразие двух измерений (-плоскость). В то же время мы можем отнести каждому спинору бивектор. Нетрудно видеть, что этот бивектор лежат в этой изотропной плоскости. Ограничимся сначала для проверки случаем спинора, у которого все составляющие, за исключением равны нулю; в этом случае изотропная -плоскость,

соответствующая этому тензору, определяется, уравнениями

контравариантные составляющие каждого бивектора, лежащего в этой -плоскости, равны нулю, за исключением другими словами, все его ковариантные составляющие равны нулю, за исключением Но бивектор определяемый рассматриваемым спинором, обладает как раз этим свойством, так как единственная его ковариантная составляющая, отличная от нуля, есть Этот результат является общим и распространяется на все значения как это мы сейчас покажем.