IV. Простые спиноры и интерпретация их как поляризованных изотропных v-векторов

Рассматривая в начале этой главы изотропные -плоскости, мы пришли к системе линейных уравнений с переменными коэффициенты которых являются 2 составляющими спинора. Эти уравнения определяют -плоскость, если при отличном от нуля, между составляющими спинора существуют квадратичные соотношения а) и определяющие через составляющие имеющие больше двух индексов. Эти уравнений выражаются матричным уравнением

106. Простые спиноры и изотропные v-плоскости.

Мы будем называть ненулевой спинор простым, если ранг системы этих уравнений равен они определяют тогда - плоскость, являющуюся изотропной, так как если вектор х удовлетворяет этим уравнениям, то

Обратно, каждая изотропная -плоскость может быть определена простым спинором: мы показали в том случае, когда из уравнений этой плоскости не вытекает никакого линейного соотношения между соответствующий ему простой спинор имеет составляющую отличную от нуля.

Чтобы доказать, что указанный результат имеет место в общем случае, достаточно установить следующие две леммы.

Лемма I. Спинор, получающийся из простого при помощи вращения или симметрии, является также простым, причем - плоскость, соответствующая преобразованному спинору, получается из у-плоскости исходного при помощи того же вращения или симметрии.

В самом деле, пусть простой спинор, X — вектор соответствующей -плоскости; при помощи симметрии А получаем спинор и вектор , причем

так как векторы X образуют изотропную плоскость, то лемма доказана.

Лемма II. Две изотропные плоскости могут быть всегдй преобразованы одна в другую при помощи вращения или отражения.

В самом деле, рассмотрим две изотропные -плоскости, имеющие общую плоскость; обозначим через X вектор первой у - плоскости, не принадлежащий ко второй; этот вектор не может быть перпендикулярен ко всем векторам второй -плоскости, так как плоскость, содержащая вторую -плоскость и вектор X, была бы изотропна, что невозможно. Пусть — вектор второй -плоскости, не перпендикулярный к X; вектор не изотропен, так как в противном случае мы имели бы

Симметрия (относительно плоскости, перпендикулярной к отрезку, соединяющему концы векторов X и и проходящей через середину этоо отрезка) оставляет инвариантной -плоскость, общую двум данным -плоскостям, так как эта плоскость перпендикулярна к кроме того, она преобразует X в она преобразует, таким образом, первую -плоскость в другую, имеющую со второй у-плоскостью общую Повторяя несколько раз это же преобразование, мы совместим обе данные -плоскости При помощи некоторого числа симметрий.

Можно добавить к этому, что в рассматриваемом случае нечетного можно всегда осуществить это совмещение при помощи вращения, так как в -плоскости, перпендикулярной к изотропной -плоскости, существует неизотропный вектор, перпендикулярный к этой у-плоскости, и, следовательно, существует симметрия, оставляющая инвариантной - плоскость.

Вернемся к нашему предложению. Каждая изотропная у-плоскость может быть получена при помощи вращения из -плоскости

применим это вращение к спинору, у которого составляющие, отличные от равны нулю; на основании леммы I мы получим простой спинор, соответствующий данной изотропной плоскости. Мы приходим, таким образом, к следующей общей теореме.

Теорема. Каждая изотропная у-плоскость определяется при помощи простого спинора. Простые спиноры образуют совокупность, инвариантную при вращениях и отражениях.

107. Простые спиноры обращают в нуль симметрические тензоры, отличные от ...

Теперь мы охарактеризуем алгебраически простые спиноры. Покажем сначала, что каждый простой спинор превращает в нуль составляющие различных симметрических тензоров входящих в разложение тензора

Прежде всего это предложение справедливо для простого спинора, у которого все составляющие, за исключением равны нулю. Рассмотрим симметрический тензор получающийся из выражения

если все за исключением равны нулю, то это выражение равно умноженному на коэффициент при в составляющей преобразованной матрицей то есть на коэффициент при в составляющей преобразованной матрицей X. Но в составляющую преобразованную

матрицей X вектора, входят только те составляющие которые имеют по крайней мере индексов; применяя вторую матрицу вектора, мы получим выражение, содержащее только те которые имеют по крайней мере индексов и т. д. Так то составляющая не входит в искомую составляющую преобразованную матрицей X.

Так как каждый простой спинор может быть получен (лемма II) из рассмотренного спинора частного вида, то тензор также равен нулю для этого спинора, что и требовалось доказать.

Докажем теперь обратное, — что каждый спинор, обращающий в нуль симметрические тензоры отличные от — простой. В самом деле, на основании самого определения простых спиноров они характеризуются целыми алгебраическими соотношениями. Рассмотрим среди этих соотношений все квадратичные. Эти соотношения обладают тензорным характером в том смысле, что левые части образуют тензор, так как в целом их совокупность, конечно, инвариантна при вращении и отражении. На основании прямой теоремы мы знаем, что среди этих квадратичных соотношений фигурируют все те, которые получаются приравниванием нулю симметрических тензоров отличных от Других соотношений существовать не может, так как рассматриваемые соотношения, будучи линейными относительно составляющих тензора могут быть получены только приравниванием нулю одной или нескольких из неприводимых частей этого тензора; но не может фигурировать среди этих частей: в противном случае все составляющие то есть и все были бы равны нулю; мы пришли К абсурду. Следовательно, совокупность квадратичных соотношений, характеризующих простые спиноры, совпадает с той, которая получается приравниванием нулю симметрических тензоров отличных от

108. Алгебраическая характеристика простых спиноров.

Рассмотрим спинор, обращающий в нуль все эти тензоры; его составляющие удовлетворяют соотношениям а) и b) (п. 92)

которые необходимо имеют место для составляющих простого спинора; если то эти необходимые соотношения являются и достаточными, как это показывает начало главы, для того чтобы спинор был простым; следовательно, каждый спинор, с составляющей обращающий в нуль симметрические тензоры отличные от простой. То же самое имеем в том случае, если так как можно получить преобразованием новый спинор с составляющей который обращает в нуль те же составляющие тензора и поэтому является простым; следовательно, получающийся преобразованием из простого тензора, сам является простым.

Теорема. Спинор является простым тогда а только тогда, если его составляющие обращают а нуль все тензоры, определяемые выражениями

В пространстве спиноров простые спиноры образуют, таким образом, алгебраическое многообразие, определяемое линейно независимыми квадратичными уравнениями в числе то есть

Это число равно:

109. Изотропный v-вектор, соответствующий простому спинору.

Рассмотрим простой спинор; тензор позволяет отнести этому простому спинору, как и вообще каждому спинору, -вектор (п. 105). Мы покажем, что этот -вектор лежит в изотропной -плоскости, определенной спинором. Достаточно проверить это для какого-нибудь спинора частного вида, так

как применением вращения мы распространим это на любые простые спиноры. Возьмем снова спинор, у которого все составляющие, за исключением равны нулю. Рассуждение, которое применялось при доказательстве леммы И, показывает, что единственная отличная от нуля ковариантная составляющая -вектора получает из - вектора X, являющегося произведением -векторов так как — единственные векторы базиса, обладающие тем свойством, что их применение к составляющей уменьшает на единицу число ее индексов. Следовательно, единственная отличная от нуля ковариантная составляющая -вектора, соответствующего спинору, есть

-плоскость этого -вектора определяется уравнениями

это — изотропная v-плоскость, определяемая рассматриваемым спинором.

Отсюда вытекает важное следствие. Каждый, простой спинор может быть определен как изотропный поляризованный -вектор. Если задан изотропный -вектор, то составляющие спиноры определены (с точностью до общего знака) выражениями тензора для это — выражения (16), данные в

Вполне очевидно, что каждый спинор можно рассматривать, и притом бесконечным числом способов, как сумму простых спиноров; это дает также геометрическую интерпретацию спиноров общего вида.

Интересно отметить, что как понятие спинора может быть выведено из понятия вектора, так и обратно - понятие вектора может быть выведено из понятия спинора; прежде всего при помощи спинора можно построить изотропный -вектор, затем можно определить -вёктор общего вида как сумму изотропных -векторов и вектор — как элемент, общий семейству -векторов, удовлетворяющих определенным условиям..

110. Пересечение двух изотропных v-плоскостей.

Обозначим через изотропную -плоскость, определяемую простым спинором Пересечение двух изотропных -плоскостей

есть изотропная -плоскость, причем может изменяться от этом случае эти у-плоскости не имеют общих прямых) до (когда они совпадают).

Существует по крайней мере один неизотропный перпендикулярный к обеим -плоскостям; в самом деле, геометрическое место перпендикуляров к этнм двум -плоскостям определяется независимыми линейными уравнениями, то есть является -плоскостью, содержащей -плоскость, общую рассматриваемым -плоскостям. Таким образом, существует прямая, перпендикулярная к обеим -плоскостям и не принадлежащая к их общей -плоскости. Эта прямая не может быть изотропной, так как в противном случае она определяла бы с каждой из рассматриваемых -плоскостей изотропную -плоскость, что невозможно. С другой стороны, не будучи изотропной, она не может лежать в -плоскости, которая содержит данные две -плоскостн и к которой эта прямая перпендикулярна.

При помощи вращения можно всегда единичный вектор, лежащий на этой прямой, совместить с а -плоскость с плоскостью, определяемой векторами наконец, можно предположить, что -плоскость, общая обеим -плоскостям, определяется векторами Каждый вектор -плоскости является линейной комбинацией векторов но из условия, что он перпендикулярен к вытекает, что Ну не может входить в эту комбинацию; то же самое относится к Итак, -плоскость можно определить при помощи векторов

причем

Тогда скалярные произведения векторов

те же самые, что и у векторов

таким образом, векторы образуют репер, конгруэнтный координатному реперу, то есть при помощи вращения или отражения можно обе данные -плоскости совместить соответственно с -плоскостями

у которых уравнения соответственно следующие:

У соответствующего простого спинора все составляющие кроме равны нулю, у спинора не равна нулю только составляющая В самом деле, для второго спинора уравнения

показывают, что содержащие один из индексов равны иулю, так же как и те составляющие, у которых отсутствует один из индексов таким образом, остается не равной нулю только одна составляющая

111. Условие того, что пересечение двух изотропных у-плоскостей имеет р измерений.

Полученный в предыдущем параграфе результат позволяет нам найти непосредственно необходимые и достаточные условия того, что пересечение двух изотропных у-плоскостей является плоскостью измерений. В самом деле, если эта плоскость -мерна, то все тензоры определяемые парой спиноров и равны нулю; достаточно доказать это для двух у-плоскостей, определенных выше. Если мы образуем величину

где X — произвольный то эта величина является произведением на коэффициент при преобразованной матрицей то есть преобразованной матрицей X. Но X является суммой произведений матриц так как матрица примененная к составляющей уменьшает число простых индексов этой составляющей самое большее на единицу, то матрица X, примененная к составляющей дает выражение, в которое не может входить составляющая А это и требовалось доказать.

Наоборот, тензор определяемый величиной не равен нулю, так как, выбирая мы получим кроме того, мы видим, что -вектор лежит в -плоскости, общей обеим -плоскостям.

Отсюда вытекает следующая

Теорема. Пересечение двух изотропных -плоскостей и [5] тогда и только тогда является плоскостью измерений, если тензоры -векторы или -векторы, определяемые парой спиноров , равны нулю при но тензор не равен нулю.

Например, для того чтобы две изотропные -плоскости имели общую прямую, необходимо и достаточно, чтобы

то есть, чтобы простые спиноры и были сопряженными относительно фундаментальной полярности.

Добавим следующее замечание. Если теперь равен нулю, то равны нулю и тензоры

В самом деле, вопрос можно всегда привести к случаю, когд одна из -плоскостей соответствует простому спинору

у которого, все составляющие, за исключением равны нулю. Выражая условие, что величина

тождественно равна нулю, мы получим, принимая

что все составляющие спинора , имеющие простых индексов, у — простых индексоз, простых индексов и т. д., равны нулю. Отсюда следует, что величина тождественно равна нулю.