V. Неприводимость p-векторов

В заключение этой главы мы исследуем мультивекторы с точки зрения их неприводимости относительно группы вращений. Мы будем иметь в виду прежде всего вещественное эвклидово пространство, отнесенное к ортогональному реперу, но результаты могут быть применены без изменения к комплексному пространству.

48. Неприводимость p-вектора относительно группы вращений

Обозначим через симметрию, соответствующую вектору базиса. Если бы -вектор был приводим, то существовал бы тензор порядка составляющие которого были бы линейными комбинациями составляющих вектора. Предположим, что в одной из этих составляющих коэффициент при не равен нулю. Тогда вращение дало бы новую составляющую тензора которая получилась бы из первой изменением знаков у коэффициентов при содержащих один и только один из индексов 1 и 2; сложением мы исключили бы эти велгчины. Применяя так же вращения , мы придем к составляющей тензора содержащей и только те величины I которые не имеют ни одного из индексов

Пользуясь, наконец, вращениями мы доказали бы существование составляющей тензора содержащей вместе с только те в которые входят все индексы но не входит ни один из индексов Но это возможно только в том случае, если

Таким образом, если тензор содержит составляющую но перестановка координат в сопровождении с переменой знака у одной из координат (если перестановка нечетная) показывает, что тензор содержит все составляющие -вектора, то есть этот последний неприводим.

49. Полу-y-векторы пространства Е2.

Предположим теперь, что четное: Предыдущее рассуждение показывает, что тензор содержит по крайней мере одну из составляющих вида

Перестановка, примененная к индексам, позволяет вывести отсюда существование составляющей

в которой следует брать знак (+) или в зависимости от четности или нечетности перестановки . В частности, имеем составляющую

Чтобы тензор не совпадал с -вектором, необходимо принять то есть Обратно, выберем, например Величины

где является четной перестановкой, определяют тензор. В самом деле, составляющие дополнительного -вектора к данному определяются следующим образом:

Этот дополнительный -вектор образует тензор, эквивалентный -вектору. Следовательно, величины являются составляющими тензора. При получим найденные выше величины.

-вектор разлагается, таким образом, на два неприводимых тензора; они не эквивалентны, так как в противном Случае -вектор дал бы бесконечное число неприводимых тензоров порядка между тем как он дает только

В произвольной декартовой системе координат полученные выше тензоры (мы будем называть их полу-y-векторами. первого и второго рода) определяются составляющими

как это вытекает из выражения для составляющих у-вектора, дополнительного к данному -вектору

50. Примечания.

Полученные результаты остаются в силе, если рассматривать группу вращений или даже просто группу собственных вращений в вещественном псевдоэвклидовом пространстве, хотя данное выше доказательство должно быть в этом случае пополнено. Это является следствием одной общей теоремы, которая будет дана в дальнейшем

Можно поставить вопрос: могут ли - вектор и - вектор образовывать эквивалентные тензоры? Это может быть только в случае — единственном случае, когда эти тензоры одинакового порядка.

0 Относительно группы вращений вектор и -вектор эквивалентны, так как соответствующие составляющие -вектора и дополнительного - вектора преобразуются, очевидно, одинаково при вращении. С другой стороны, мы видели, что в случае полу--вектор первого рода и полу--вектор второго рода не эквивалентны.

51. Мультивекторы относительно группы вращений и отражений.

Относительно группы вращений и отражений полу--векторы не дают уже тензоров, так как симметрия переводит полу вектор первого рода в полу--вектор второго рода.

Теорем а. векторы образуют неприводимые тензоры; они не эквивалентны между собой.

Вторая половина теоремы доказывается легко: достаточно показать, что - вектор и - вектор не эквивалентны. Если бы они были эквивалентны, то можно было бы установить такое соответствие между составляющими этих тензоров, что при каждом вращении и отражении составляющие -вектора и - вектора преобразовались бы одинаково. Мы

знаем, что при группе вращений это можно сделать единственным образом составляющая вектора, которая должна соответствовать данной составляющей рвектора, может только постоянным множителем отличаться от составляющей вектора, дополнительного данному -вектору именно - четная перестановка) (п. 17). Если воспользоваться прямоугольной системой координат, то нетрудно видеть, что симметрия, соответствующая одному из векторов базиса, не меняет соответствующих составляющих по абсолютной величине, но в то же время у одной меняет знак на обратный, а у другой не меняет знака.