III. Мультивекторы

14. Объем гиперпараллелепипеда, построенного на n векторах.

Пусть в эвклидовом пространстве отнесенном к некоторому декартову реперу, заданы векторов в определенном порядке рассмотрим определитель, образованный из составляющих этих векторов,

так как вращение определяется линейным преобразованием с определителем, равным а отражение — линейным преобразованием с определителем, равным — 1, то А не изменяет абсолютной величины при применении к векторам пространства одного и того же вращения или отражения. Можно составить определитель из ковариантных составляющих векторов; равен произведению на определитель линейной подстановки,

преобразующей контравариантные составляющие в ковариаитные, то есть на

С другой стороны, вычислив произведение

получим

причем в этот определитель входят только скалярные произ ведения заданных векторов. При этот определитель равен квадрату объёма параллелепипеда, построенного на 3 векторах. Естественно назвать объемом гиперпараллелепипеда, построенного на векторах квадратный корень из этого определителя при любом Таким образом

откуда

Если вещественное пространство — псевдоэвклидово, то удобнее положить

знак дает ориентацию n-эдра, построенного на векторах; если то эта ориентация та же, что и у декартова репера.