13. Пространства, у которых h = 1.

В этих пространствах каждое собственное вращение и собственное отражение является произведением пространственных симметрий. В самом деле, пусть х — единичный временнбй вектор, х — вектор, получающийся из него при преобразовании; мы можем выбрать х за вектор базиса; так как коэффициент при

в положителен, то составляющая вектора х положительна и больше есть скалярное произведение меньше . Скалярный квадрат вектора равен есть пространственный вектор. Таким образом, можно перейти от вектора при помощи пространственной симметрии и, чтобы получить рассматриваемое вращение (или отражение), Достаточно иметь дело с вещественным эвклидовым пространством с определенной фундаментальной формой, ортогональным к а это даст самое большее пространственных симметрий.

Теорема. В пространстве, фундаментальная форма которого приводится к сумме положительных квадратов и одного отрицательного, каждое собственное вращение и собственное отражение является произведением некоторого числа пространственных симметрий.