III. Сопряженные векторы и слияоры в пространстве частного принципа относительности

165. Сопряженные спиноры.

Матрицы, соответствующие двум комплексно сопряженным векторам, имеют вид

или

вторая матрица выводится из первой X при помощи формулы (п. 116)

Аналогично для спинора , сопряженного данному , имеем формулу

из которой вытекает

или, более подробно,

156. Разложение произведения двух сопряженных спиноров.

Результаты дают непосредственно разложение произведения двух сопряженных спиноров на скаляр, вектор, бивектор, тривектор и 4-вектор.

Мы вычислим эти различные тензоры, пользуясь координатами частного принципа относительности, в которых фундаментальная форма имеет вид

матрицы, соответствующие векторам базиса, следующие:

Здесь матрица введенная равна — Мы должны рассмотрено величины причем мы будем умножать каждую из них на некоторый постоянный множитель, чтобы иметь вещественные р-векторы.

1° Имеем -вектор с составляющей

2° Имеем вектор, определяемый величиной его контравариантные составляющие определяются формулами:

На основании общей теоремы (п. 119) это — временной вектор, скалярный квадрат которого равен

3° Имеем бивектор, определяемый величиной его контравариантные составляющие имеют вид

Он разлагается на два комплексно сопряженных бивектора:

Сумма квадратов составляющих первого равна — сумма квадратов составляющих второго равиа

4° Имеем тривектор, определяемый величиной с составляющими

5° Наконец, имеем скаляр с составляющей