ГЛАВА 1. ЭВКЛИДОВО n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО; ВРАЩЕНИЯ И ОТРАЖЕНИЯ

I. Пространство Эвклида

1. Определение. Векторы.

Можно ввести понятие об эвклидовом -мерном пространстве, называя точкой совокупность чисел

причем квадрат расстояния от начальной точки до точки задается фундаментальной формой:

эта форма дает также скалярный квадрат (квадрат длины) вектора х, выходящего из начала и оканчивающегося в точке величин называются также составляющими этого вектора. Координаты могут быть произвольными комплексными числами, и тогда мы говорим о комплексном пространстве; но они могут быть также действительными, — и в этом случае мы имеем вещественное эвклидово пространство. В действительной области существуют также псевдоэвклидовы пространства, соответствующие неопределенной действительной фундаментальной форме:

не ограничивая общности исследования, мы будем предполагать

Мы будем рассматривать в вещественных пространствах векторы, составляющие которых не все являются вещественными; такие векторы будем называть мнимыми.

Вектор называется изотропным, если его длина равна нулю, то есть если его составляющие обращают в нуль фундаментальную форму. В комплексном пространстве или вещественном эвклидовом вектор иазьается единичным, если его длнна равна 1. В вещественном псевдоэвклидовом пространстве с неопределенной фундаментальной формой мы будем различать вещественные пространственные векторы, составляющие которых дают

положительное значение для фундаментальной формы, и вещественные временные векторы составляющие которых дают отри» цательное значение для этой формы. Единичный пространственный вектор дает для фундаментальной формы значение единичный временной вектор значение —1.

Рассмотрим два вектора ; скалярный квадрат вектора (где — некоторый параметр), имеющего составляющие равен

где через обозначена сумма Эта сумма называется скалярным произведением векторов х и у. В случае псевдоэвклидова пространства скалярное произведение имеет следующий вид:

Два вектора называются взаимно перпендикулярными, или ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю; изотропный вектор ортогонален сам себе. Геометрическое место векторов, ортогональных данному вектору, есть гиперплоскость измерений (определяемая одним линейным уравнением между координатами).