139. Принцип тройственности.

Покажем теперь, что группа О может быть дополнена пятью другими семействами линейных подстановок, оставляющих инвариантной форму и преобразующих между собой три формы , причем элементы каждого из этих новых семейств устанавливают определенную перестановку между тремя видами объектов: векторами, полуспинорами первого рода и полуспинорами второго рода.

Одно из этих семейств, обозначим его через получается комбинированием элементов группы О с симметрией А, преобразующей X в выбирая, например, получим преобразование

семейство это является не чем иным, как семейством отражений.

Второе семейство, которое обозначим через преобразует между собой векторы и полуспиноры первого рода; оно получается при комбинировании элементов из О с преобразованием

Третье семейство, которое обозначим через преобразует между собой векторы и полуспиноры второго рода; оно получается комбинированием элементов из О с преобразованием

Наконец, произведение образует четвертое семейство а произведение пятое семейство Например, одним из элементов семейства является

Таким образом, в эвклидовой геометрии 8 измерений в точке имеет место принцип тройственности с тремя видами объектов (векторов; полуспиноров первого рода, полуспиноров второго рода), играющих совершенно одинаковую роль. Группа этой. геометрии слагается из шести различных непрерывных семейств, соответствующих шести возможным перестановкам этих трех видов объектов; она характеризуется инвариантностью формы и формы