ГЛАВА VIII. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУППЫ ЛОРЕНЦА

I. Линейные представления группы вращений Лоренца

160. Приведение к группе комплексных вращений пространства Е3.

На основании теоремы существует взаимно однозначное соответствие между неприводимымилинейными представлениями:

1° группы вращений вещественного эвклидова пространства 4 измерений;

2° группы вращений Лоренца (собственных вращений);

3° группы собственных вращений псевдоэвклидова пространства, фундаментальная форма которого приводима к сумме двух почожительных квадратов и двух отрицательных.

В самом деле, эти три группы при переходе из вещественной области в комплексную дают одну и ту же группу, именно, группу комплексных вращений.

При применении первой группы полуспинор преобразуется унитарной подстановкой, полуспинор — другой подстановкой того же рода, но независимой от первой (п. 151).

При применении второй группы полуспинор преобразуется линейной унимодулярной подстановкой с комплексными коэффициентами, полуспинор комплексно сопряженной подстановкой

При применении третьей группы оба полуспинора преобразуются линейными унимодулярными вещественными подстановками, независимыми одна от другой.

Мы уже определили (пп. 82 — 84) линейные представления группы Лоренца, которая изоморфна группе комплексных вращений трехмерного пространства. Мы подучаем нашему неприводимых неэквивалентных представлений, рассматривая представления с производящим полиномом

161. Частные случаи.

При получаем тензор порядка, эквивалентный вектору; в самом деле, выражение где есть полуспинор, полуспинор дает вектор с составляющими

Производящий полином этого вектора может быть написан в следующем виде:

Если то можно заменить производящую форму представления формой

При получаем тензор порядка причем составляющие являются однородными полиномами порядка от удовлетворяющими уравнению Лапласа

это — гармонические полиномы порядка; доказательство — непосредственное.

При тензор имеет составляющие он эквивалентен полубивектору второго рода, и за производящий полином можно принять

аналогично имеем

Если и одинаковой четности, то можно за производящую форму для представления взять форму, в которую входят только векторы и полубивекторы.