IV. Частные случаи

137. Случай v = 3.

В следующей главе мы исследуем детально случай который интересен для квантовой механики. Случаи представляют геометрический интерес.

При составляющие полуспинора первого рода можно рассматривать как однородные координаты точки в проективном пространстве 3 измерений, а соответствующие составляющие полуспинора второго рода — как однородные координаты плоскости в этом пространстве. Величина

приравненная нулю, выражает инцидентность точки и плоскости. Величина определяет в эвклидовом пространстве изотропный вектор с ковариантными составляющими:

составляющие этого вектора являются плюккеровыми координатами прямой, соединяющей точки трехмерного пространства. Величина также определяет в изотропный ректор

составляющие этого вектора являются плюккеровыми координатами прямой пересечения двух плоскостей трехмерного пространства.

Полуспиноры все простые. Полуспинор первого рода определяет в изотропную -плодкость, то есть в трехмерном

пространстве линейное многообразие прямых с двумя параметрами: это — связка прямых, проходящих через точку, изображающую полуспинор Полуспинор второго рода определяет аналогично двупараметрическое семейство прямых, расположенных в плоскости, интерпретирующей Изотропные 3-плоскости, соответствующие двум полуспинорам одного рода, должны иметь в общую прямую (п. 124), что соответствует основной теореме: две точки или две плоскости трехмерного пространства определяют прямую. Теорема, согласно которой -плоскости, соответствующие двум полуспинорам разного рода, не имеют в общих прямых или имеют общую -плоскость, соответствует теореме, что плоскость и точка в трехмерном пространстве не определяют вообще одной прямой и определяют пучок прямых, если точка лежит в плоскости.

Добавим, что, так как группа зависит параметров, матрица , соответствующая вращению, является унимодулярной матрицей 4-го порядка общего вида.