IV. Однозначность и двузначность

86. Однозначность линейных представлений унимодулярной группы двух переменных.

Произведенное исследование неприводимых линейных представлений группы вращений комплексного эвклидова пространства, группы вращений вещественного эвклидова пространства и группы собственных вращений псевдоэвклидова пространства дало представления однозначные и двузначные. Для двух последних групп двузначными представлениями являются с нечетным для первой группы

двузначными являются при нечетном. В действительности все полученные представления являются также представлениями соответствующей группы спиноров, с этой точкг зрения они однозначны. Мы приходим, таким образом, к следующей теореме:

Теорема. Три группы линейных унимодулярных подстановок с двумя переменными, являющихся соответственно: 1° комплексными, 2° унитарными, 3° вещественными, не имеют многозначных линейных представлений.

В случае унитарной группы можно дать доказательство топологического характера. Каждая унитарная унимодулярная матрица порядка имеет вид причем Полагая

мы видим, что унитарная унимодулярная группа является многообразием, каждая точка которого определяется четырьмя вещественными числами сумма квадратов которые равна 1; это — трехмерное сферическое пространстве ничная сфера в эвклидовом пространстве четырех измерений). Это пространство односвязно, то есть каждый замкнутый контур может быть стянут в нем в точку непрерывной деформацией; проще всего это можно доказать, преобразуя эту сферу в трехмерное эвклидово пространство при помощи инверсии, полюс которой лежит в некоторой точке данной сферы (стереографическая проекция); эта инверсия преобразует ее в эвклидово трехмерное пространство (замыкаемое на бесконечности точкой). Можно доказать, что если бы унитарная унимодулярная группа имела многозначное представление, то, изменяя непрерывно матрицу этого представления, когда мы перемещаемся вдоль соответственно выбранного замкнутого контура, выходящего из начальной точки и возвращающегося в нее же, мы получили бы в результате из единичной матрицы некоторую другую. Преобразуя непрерывно этот контур, будем получать одинаковые конечные матрицы, но так как контур можно стянуть в начальную точку, мы приходим к противоречию.