4. Теорема инерции.

В вещественной области число по ложителъных и число отрицательных квадратов не зависят от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Предположим, что существует два разложения:

причем.) линейные формы и независимы, так же как и формы Предположим например Имеем тождество:

Рассмотрим линейных уравнений

так как то эти уравнения имеют по крайней мере одно решение, при котором неизвестные не равиы все иулю; для этого решения

таким образом, можно удовлетворить независимым уравнениям

решая систему с меньшим числом уравнений; мы приходим к противоречию. Следовательно,

Добавим, что, если данная форма Ф от и не является выродившейся, т. е. если форм независимы, так что дискриминант формы

отличен от нуля, то число независимых квадратов, получающихся в приведенной форме, равно . В самом деле, в противном случае частных производных являющихся

линейными комбинациями от форм не были бы независимыми.

5. Доказав приведенные выше теоремы, вернемся к нашей проблеме. Рассмотрим невыродившуюся квадратичную форму (4). В комплексной области существует независимых линейных форм

причем

Если в комплексном пространстве мы возьмем векторы 1) с составляющими то эти векторов независимы; вектор имеет составляющей как, и его скалярный квадрат равен данной квадратичной форме. Таким образом, соответствующим выбором векторов базиса, заданная фундаментальная форма пространства может быть приведена к произвольно заданной квадратичной форме

В вещественной области имеем аналогичную картину, квадратичная форма должна быть: 1° невыродившейся, 2° приводимой к сумме положительных и отрицательных квадратов, где А — данное целое число.