46. Эрмитовы матрицы.

Квадратная матрица И называется эрмитовой, если ее транспонированная равна комплексно сопряженной:

Матрица, преобразованная из эрмитовой при помощи унитарной, является эрмитовой; это следует из соотношения

Теорема. Каждая эрмитова матрица может быть преобразована при помощи унитарной к диагональному виду, в котором все элементы вещественны.

Покажем прежде всего, что собственные значения матрицы Я вещественны. Из соотношения

переходя к транспонированным комплексно сопряженным матрицам, получаем

умножая первое соотношение слева на второе справа на х, получаем

откуда

Введем теперь в векторном пространстве унитарную метрику, в которой скалярное произведение векторов определяется формулой Существует по крайней мере один унитарный вектор который при преобразовании Н умножается на

вещественное число Каждый вектор х, перпендикулярный к преобразуется в вектор перпендикулярный к это следует из соотношения

Так как подпространство, в котором лежат векторы, перпендикулярные к инвариантно относительно преобразования то оно содержит по крайней мере один унитарный вектор который при применении Н умножается на вещественный множитель Продолжая это рассуждение дальше, мы приходим к системе взаимно перпендикулярных унитарных векторов которые при применении преобразования И умножаются соответственно на Принимая эти векторы за векторы базиса, мы преобразуем Н при помощи унитарной матрицы С в диагональную матрицу с элементами