12. Собственные и несобственные вращения.

Покажем, что в вещественном псевдоэвклидовом пространстве (с неопределенной фундаментальной формой) группа вращений не непрерывна, а разлагается на два различных непрерывных семейства, которые мы назовем семейством собственных вращений и семейством несобственных вращений.

Лемма I. Два пространственных единичных вектора могут быть всегда соединены непрерывной последовательностью пространственных единичных векторов.

Примем за фундаментальную форму

Вещественный пространственный вектор определяется при помощи вещественных чисел, из которых первых могут быть рассматриваемы как составляющие вектора и в вещественном эвклидовом пространстве остальных — как составляющие вектора в вещественном эвклидовом

пространстве Если вектор х единичный, то то есть можно положить

где а — вещественное число, а и — единичные векторы пространств Любой другой пространственный вектор х может быть определен вещественным числом а и двумя единичными вещественными векторами а и Можно непрерывным образом перейти от

1° оставляя неизменными и изменяя а непрерывно до значения а;

2° оставляя неизменным и соединяя в векторы и а непрерывной последовательностью вещественных единичных векторов;

3° оставляя а неизменным и соединяя в векторы и непрерывной последовательностью вещественных единичных векторов.

Лемма применима и к двум единичным временным векторам.

Лемма II. Вращение, получающееся в результате применения двух пространственных (или временных) симметрий, может быть соединено с тождественным вращением при помощи непрерывной последовательноста вращений.

Пусть вращение является произведением двух симметрий, соответствующих двум единичным пространственным векторам и и и пусть — непрерывная последовательность

единичных пространственных векторов, соединяющая вращение, получающееся в результате применения симметрий, определяемых векторами соединяет непрерывным образом рассматригаемое вращение с тождественным.

Лечима III. При каждом вращении (или отражении) функциональный определитель, составленный из производных ом по отличен от нуля.

Предположим противное: пусть существуют значения переменных не равные одновременно нулю и превращающие в нуль в формулах, выражающих через совокупность членов, зависящих от . У вектора, получающегося при преобразовании из пространственного вектора первые составляющих равны нулю; мы получаем, таким образом, временнбй вектор, что невозможно.

Обратимся теперь к доказательству теоремы. Заметим прежде всего, что на основании леммы III, если два вращения могут быть соединены непрерывной последовательностью вращений, то эти два вращения дают один и тот же знак функциональному определителю А, образованному из производных от По так как при переходе от одного вращения к другому этот определитель изменяется непрерывно и не обращается в нуль. На основании леммы II вращения, являющиеся произведениями четного числа пространственных отражений и четного числа временных, дают определителю А тот же знак, что и тождественное вращение, то есть плюс. Наоборот, вращение, являющееся произведением пространственной симметрии и временнбй, может быть на основании леммы I соединено непрерывной последовательностью вращений с вращением, являющимся результатом применения симметрий, определяемых векторами оно дает, таким образом, определителю А

тот же знак, что и это последнее вращение, то есть минус. Результирующее вращение нечетного числа пространственных симметрий и нечетного числа временных может быть приведено к последнему вращению пгри помощи непрерывной последовательности вращений. Таким образом, доказана

Теорема. В вещественном псевдоэвклидовом пространстве группа вращений разлагается на 2 различных семейства; первое образовано группой собственных вращений, получающихся в результате применения четного числа пространственных симметрий и четного числа временных; второе семейство является совокупностью несобственных вращений, состоящих из нечетного числа пространственных симметрий и нечетного числа временных; эта совокупность не образует группы.

Собственные и несобственные вращения различаются знаком функционального определителя, составленного из производных от по или знаком функционального определителя

В дальнейшем мы будем рассматривать так называемые собственные отражения, являющиеся результатом применения нечетного числа пространственных симметрий и четного числа временных. Они характеризуются тем, что функциональный определитель

положителен (инвариантность временнбй ориентации).