33. Нахождение неприводимых тензоров, которые могут быть получены из вполне приводимого тензора.

Применим полученные выше результаты к решению следующей проблемы. Возьмем вполне приводимый тензор, относящийся к группе О. Предположим, например, что соответствующим выбором составляющих он разлагается на 5 неприводимых тензоров, из которых 3 первых эквивалентны между собой, так же как и два последних. Обозначим соответственно через

составляющие этих пяти тензоров. Мы можем предполагать, что составляющие выбраны таким образом, что линейные преобразования над переменными одни и те же; аналогично — относительно

Определим все неприводимые тензоры, которые можно выделить из заданного вполне приводимого тензора. Составляющие такого тензора будут линейными комбинациями

Пусть

— одна из этих составляющих. Если один из коэффициентов а, отличен от нуля, то невозможно, чтобы все составляющие отсутствовали в какой-нибудь другой из линейных комбинаций, образующих искомый тензор; в самом деле, в противном случае совокупность всех линейных комбинаций, в которые не входят хобладала бы сама тензорным характером. С другой стороны, различные величины преобразуются линейно между собой, и, так как образуют неприводимый тензор, отсюда следует, что искомый тензор содержит обязательно независимых составляющих, которые могут быть приведены к виду

где многоточия обозначают линейные комбинации переменных линейных комбинаций из которые здесь фигурируют (мы предполагаем, что они не равны все нулю), преобразуются тогда как следовательно они имеют вид Аналогичную картину имеем для комбинаций из Что касается переменных то они не могут входить, так как линейных комбинаций, которые тогда фигурировали бы, преобразовывались бы между собой как отсюда вытекало бы, что и что образует тензор, эквивалентный что противоречит предположению.

34. Приложение.

Из полученных результатов вытекает один важный вывод. Предположим, что мы имеем класс объектов, преобразующихся между собой элементами группы О, и что каждому объекту можно отнести некоторую совокупность величин , обладающих следующими свойствами;

1° каждому элементу группы соответствует определенная линейная подстановка преобразующая величины

2° линейные преобразования дают линейное представление группы

Возникает вопрос, может ли между ил существовать одно или несколько линейных соотношений с постоянными коэффициентами.

Сделанное предположение сводится к тому, что в некотором -мерном пространстве векторы х. определяют своими составляющими некоторый тензор . Векторы и, отнесенные К объектам рассматриваемого класса, образуют только часть векторов х пространства Но подстановки преобразуют их между собой; следовательно, плоскость наименьшего числа измерений, содержащая векторы и, инвариантна при подстановках Левые части уравнений, определяющих эту плоскость, определяют тензор, выделенный из Следовательно, линейные соотношения между получаются приравниванием нулю всех составляющих некоторого тензора, выделенного из .

Предположим, например, что тензор разлагается на три неприводимых эквивалентных между собой тензора и что составляющие

этих трех тензоров выбраны таким образом, чтобы преобразовывались одной и той же линейной подстановкой для каждого данного элемента группы Искомые соотношения получатся, если выписать одну или несколько систем соотношений вида

где с — постоянные коэффициенты.